Vektorraum

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sofiee Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum
Hallo zusammen,

habe durch google zu dieser Seite gefunden und hoffe, dass ich hier etwas aus meiner Verzweiflung rauskomme. Bin nämlich total schlecht in Mathe, aber muss es trotzdem irgendwie schaffen, einige Aufgaben zu lösen und viel Zeit habe ich auch nicht mehr unglücklich naja jetzt zu meiner ersten Aufgabe:

Sei V der Vektorraum der Polynome über vom Grad kleiner gleich 2.
Sei f: V -> V definiert durch

Beweisen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie die Basen von Kern (f) und von Bild (f)

so,
Kern (f) hat ja die Menge:



und Bild(f) hat die Menge:



ich weiß aber nicht, wie ich anfangen soll verwirrt und va weiß ich auch nicht wie man beweist, dass f linear bist.

danke im voraus für eure hilfen sagt die
sofie
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Linearität von f: Nimm dir ein Polynom Zeige, dass dann gilt.
 
 
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zur Linearität von f: Nimm dir ein Polynom Zeige, dass dann gilt.


und ist eine Lösung? wir haben das zeichen nämlich immer als lösung definiert!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

ist keine Lösung, sondern eine Zahl. Und zwar eine beliebige. So, und was ist jetzt
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
[ So, und was ist jetzt


verwirrt weiß ich nicht!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Sagen wir mal, Der Ausdruck ist auch ein Polynom, und zwar einfach das Polynom p mit multipliziert:



Du hast jetzt oben die Abbildungsvorschrift für f gegeben. Setze da einfach ein, um zu erhalten.
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mehr schreibe ich nicht. Du musst auch über das nachdenken, was man dir schreibt...

EDIT: Und wenn du etwas nicht verstehst, dann sag klipp und klar, was dies genau ist, anstatt einfach nur den Verstehnix-Smiley zu posten. Vergiss nicht, dass DU etwas von UNS willst, und nicht andersherum.
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Du musst auch +ber das nachdenken, was man dir schreibt...


das tue ich auch!!!!!
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Vergiss nicht, dass DU etwas von UNS willst, und nicht andersherum.
und DESWEGEN das du dir diesen ton erlauben? da bin ich hier wohl falsch gelandet.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Erklär mir bitte, wo ich mich im Ton vergriffen habe. Danke.

EDIT: War ja klar, dass da nichts mehr kommt... unglücklich
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mich da jetzt noch etwas durchgearbeitet und verstehe so in etwa, was die funktion da oben zu bedeuten hat.



ich muss beweisen, dass ist.

dann habe ich da also stehen:


wie beweise ich denn jetzt, dass das wirklich so ist? muss ich auf jetzt die linke seite ausmultiplizieren?
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich könnte das ja auch lösen, indem ich beweise, dass

f(a+b)=f(a)+f(b)

ich habe also zwei Polynome: und

jetzt muss ich beweisen, dass


ist.

das sieht zwar unkomplizierter aus, ich weiß aber trotzdem nicht, wie ich aus der linken seite auf die rechte seite kommen soll verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Layout...
... mal ganz ehrlich, gut lesen sich deine Beiträge nicht. Von einem Studi würde ich erwarten, dass er sich mehr mit dem integrierten Latex auseinander setzt (-> LaTeX für Anfänger ). Stimmt deine Funktion überhaupt? Ich vermute einmal


Zusammenfassung

Sei V der Vektorraum der Polynome über vom Grad kleiner gleich 2 (typische Bezeichnung ). Sei f: V -> V definiert durch:



Beweisen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie die Basen von Kern (f) und von Bild (f).



**********************************************************************
Nun gab Dir WebFritzi schon die Hinweise, wie die Homogenität zu überprüfen ist. Üblich ist als Linearfaktor:

(*)


Dazu setzt man eben einfach einmal ein:






Nun betrachten wir die Bilder der Polynome (Vektorraumelemente):





Um (*) zu zeigen, muss also nur ausgeklammert werden.

**********************************************************************

Ist noch die Additivität zu prüfen.



mit






Vielleicht bekommst Du das ja einmal "sauber" notiert. Augenzwinkern
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Layout...


wie kommst du denn auf diese Funktion?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt soll noch einer sagen Du liest nicht aufmerksam Freude . Es sollte "_" statt "-" heißen, also eine Tiefstellung



code:
1:
[latex]a_2[/latex]
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke. jetzt verstehe ich das auch einigermaßen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du nun den zweiten Teil lösen (Additivität)?
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

moment, ich sitze gerade dran Augenzwinkern geht bei mir nicht so schnell
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Layout...


mit














somit gilt: f(p+q) = f(p) + f(q)

oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Notation


Damit ergibt sich (Funktionsvorschrift):




Auf der anderen Seite gilt:




Und somit gilt:





So würde ich es formal aufschreiben.
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ok!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild
Zitat:
Bestimmen Sie die Basen von Kern (f) und von Bild (f)


Welche Dimension haben den der Kern und das Image?
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

für die Dimension muss doch gelten:

oder?
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

ist das nicht so, dass ich mir die Basisvektoren anschauen muss?

ich glaube:

dim (V) = 3
dim (Bild(f)) = 2
dim (Kern(f)) = 1
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum? Weil wir im endlich dimensionalen sind. Richtig. Aber das ist ja nur der allererste Schritt. Augenzwinkern Über die Einzelnen Dimensionen wissen wir dadurch noch nicht wirklich mehr.

Welche Dimension hat denn V und kannst Du eine Basis angeben?
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

zur Basis von V: a0, a1, a2 ????
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunt1 , das sind doch Koeffizienten von einem Polynom. Und Polynome sind die Elemente von V ()

Stichwort: Monom-Basis
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

dann 1, t, t² ???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Wie sehen die Bilder dieser Basis-Polynome unter der lin. Abbildung f aus?
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... wie bekomme ich das denn raus?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es, wenn du sie in die Abbildung einsetzt. ^^ haben hier eben konkrete Gestalt Augenzwinkern
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du so:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir das erste Basispolynom



Um noch deutlicher zu werden:



Klingelt es nun?

sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

(0 + 0) t + (0+0) = 0
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Änderung!
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »










sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mich vertippt
muss es heißen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »


















Was ist ? (Dimension des Spans)
sofiee Auf diesen Beitrag antworten »

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