Bijektivität und Umkehrabbildung

04.11.2007, 12:34

Spiggie

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Bijektivität und Umkehrabbildung

Hey,

ich habe folgende Aufgabe, an der ich nicht weiter komme.

Zeigen Sie, dass folgende Abbildung bijektiv ist, und geben Sie die Umkehrabbildung an:

(Ok, ich hab keine Ahnung, wie man das in LaTex schreibt, aber wenn ich es richtig verstehe müsste es so heißen: )
Die Funktion g geht von N nach N und k geht über in 2k, falls k gerade, k-1, falls k+1 durch 4 teilbar ist oder in (k+1)/2, falls k-1 durch 4 teilbar ist.

Im Tutorium hatten wir noch nen Startwert gegeben (war ne andere Funktion), da konnte man dann durch einsetzten drauf schließen, ob die Funktion bijektiv war oder nicht. Aber wie mache ich es hier? Kann ich auch einen Startwert nehmen und man schauen, was passiert?
Ich hoffe, das kann mir hier jemand in LaTex schreiben und dann natürlich auch bei meiner Aufgabe helfen.

04.11.2007, 14:53

tmo

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$\begin{eqnarray*} g: N \mapsto N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \mapsto \begin{cases}2k, & \text{wenn }k\text{ gerade}\\k-1 & \text{wenn } 4 \mid k+1\\\frac{k+1}{2}, & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Um die Surjektivität zu beweisen würde ich eine vollständige Fallunterscheidung durchführen. Du beweist nacheinander, dass alle natürlichen Zahlen der Form
$\begin{eqnarray*} 4n, 4n+1, 4n+2\text{ und }4n+3 \end{eqnarray*}$ in der Wertemenge sind.

um die injektivität zu zeigen, kannst du einen kleinen trick verwenden, der dir vielleicht selber auffällt.

04.11.2007, 15:38

Spiggie

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ok, kannst du mir nen kleinen Tipp geben, wie ich da am besten anfange? Kann ich dann bei 4n z.b. sagen, dass die zahl ja immer gerade ist, somit verdoppelt wird, somit wiederum gerade bleibt un wieder verdoppelt wird... und darum ja auch nur werte in N annimmt?

04.11.2007, 15:44

tmo

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erstmal würde ich an deiner stellen nach prüfen, welche zahlen unter welchen fall fallen und wohin sie dann abgebildet werden.

04.11.2007, 15:58

Spiggie

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4n fällt in den fall 1, da 4n gerade ist
4n+1 fällt in den fall 3, da (4n+1)-1 durch 4 teilbar ist
4n+2 fällt wieder in fall 1, da 4n+2 gerade ist
4n+3 fällt in fall 2, da (4n+3)+1 durch 4 teilbar ist

04.11.2007, 15:59

tmo

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und worauf werden sie abgebildet?

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04.11.2007, 16:06

Spiggie

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4n wird auf fall 1 abgebildet
4n+1 wird auf fall 2 abgebildet
4n+2 wird auf fall 1 abgebildet
4n+3 wird auf fall 1 abgebildet

stimmt des so?

04.11.2007, 16:09

tmo

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ja aber jetzt interessiert dich nicht mehr der fall, sondern die darstellung 4n+a.

sprich 4n wird auf 8n abgebildet. (was wird also auf 4n abgebildet?)
4n+3 (fall 2) wird auf 4n+2 abgebildet (damit ist das schonmal abgeschlossen)
usw...

so kannst du einfach konstruktiv beweisen, dass jede natürliche zahl in der wertemenge vorkommt.

04.11.2007, 16:19

Spiggie

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4n+2 wird auf 8n+4 abgebildet, also bleibt es gerade un somit in fall 1
4n+1 wird auf 2n+1 abgebildet, und wie gehts da weiter?

04.11.2007, 16:23

tmo

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4n+1 = 8m + 1 oder 8m + 5

lass dir doch nicht alles aus der nase ziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2007, 16:30

Spiggie

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dann wird 8m+5 auf 4m+3 abgebildet und dass dann wiederum auf 4m+2 und dann bleibt es gerade

stimmt des so?

ach ja, sorry, falls ich mich dumm anstelle, aber ich peils grad wirklich noch nicht so arg, sei nachsichtig mit mir ^^

04.11.2007, 16:36

tmo

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damit das hier nochmal was wird:

es ist
$\begin{eqnarray*} g(2n) = 4n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(4n+3) = 4n+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(8n+1) = 4n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(8n+5) = 4n+3 \end{eqnarray*}$
bestätigung durch nachrechnen. damit ist die surjektivität konstruktiv bewiesen.

so nun zur injektivität. wenn fall 1 eintritt, ist das bild eine zahl der form 4n.
wenn fall 2 eintritt, ist das bild eine zahl der form 4n+2
wenn fall 3 eintritt, ist das bild eine zahl der form 2n+1

daraus folgt schonmal:
$\begin{eqnarray*} g(k_1)=g(k_2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ fallen in den selben fall.

was musst du also nur zeigen um die injektivität der abbildung zu beweisen?

04.11.2007, 16:42

Spiggie

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dass aus $\begin{eqnarray*} g(k_1) \neq g(k_2) \Rightarrow k_1 \neq k_2 \end{eqnarray*}$ folgt?

04.11.2007, 17:05

tmo

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das ist bei jeder abbildung so und hat nichts mit injektivität zu tun.

viel mehr reicht es zu zeigen, dass die abbildungen in den einzelnen fällen injektiv sind, was trivial ist.

04.11.2007, 18:41

Spiggie

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so trivial finde ich des gar nicht...

und wie bilde ich dann die umkehrabbildung?

04.11.2007, 18:46

tmo

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es ist
$\begin{eqnarray*} g(2n) = 4n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(4n+3) = 4n+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(4n+1) = 2n+1 \end{eqnarray*}$

damit bildest du die umkehrfunktion.

04.11.2007, 18:59

Spiggie

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0,5k, falls k gerade
k+1, falls k-1 durch 4 teilbar ist
2k-1, falls k+1 durch 4 teilbar ist

so?

04.11.2007, 19:02

tmo

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die ausdrücke stimmen, aber die fälle nicht.

0,5k, falls k durch 4 teilbar ist.
2k-1 falls k ungerade
k+1 sonst

04.11.2007, 19:07

Spiggie

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ah ok, danke ^^ wirklich herzlichen dank, dass du hier so lang durch gehalten hast, aber die eine frage hätte ich trotzdem noch.

wieso ist die Abbildung injekiv? mir ist das nicht so ganz klar

04.11.2007, 19:20

tmo

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hierzu zitiere ich mich erstmal selbst:

Zitat:

Original von tmo
so nun zur injektivität. wenn fall 1 eintritt, ist das bild eine zahl der form 4n.
wenn fall 2 eintritt, ist das bild eine zahl der form 4n+2
wenn fall 3 eintritt, ist das bild eine zahl der form 2n+1

daraus folgt schonmal:
$\begin{eqnarray*} g(k_1)=g(k_2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ fallen in den selben fall.

daraus folgt dann:
die gleichung $\begin{eqnarray*} g(k_1) = g(k_2) \end{eqnarray*}$ ist zu einer dieser gleichungen äquivalent:
1. fall: $\begin{eqnarray*} 2k_1 = 2k_2 \Rightarrow k_1 = k_2 \end{eqnarray*}$
2.fall: $\begin{eqnarray*} k_1-1=k_2-1 \Rightarrow k_1=k_2 \end{eqnarray*}$
3. fall: $\begin{eqnarray*} \frac{k_1+1}{2} = \frac{k_2+1}{2} \Rightarrow k_1=k_2 \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 19:50

Spiggie

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ok, das versteh ich jetzt glaub, kann ich dann daraus direkt auf die injektivität schließen?

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