Äquivalenz folgender Aussagen

04.11.2007, 12:50

Spiggie

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Äquivalenz folgender Aussagen

Hey,

hätte hier mal noch ne Frage smile

smile

Es seien A,B Mengen und f:A->B eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) f ist injektiv
b) Für alle $\begin{eqnarray*} C\subset A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(C))=C \end{eqnarray*}$
c) Für alle $\begin{eqnarray*} C,D\subset A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C \cap D = \emptyset \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(C) \cap f(D) = \emptyset \end{eqnarray*}$
d) Für alle $\begin{eqnarray*} C,D\subset A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(C\backslash D)=f(C)\backslash f(D) \end{eqnarray*}$

Uns wurde als Tipp der Ringschluss angetragen. Also von a auf b schließen, dann auch c, dann auf d und von d dann auf a. Aber ich habe keine Ahnung, wie ich da am besten anfangen soll. Könnt ihr mir helfen?

04.11.2007, 15:40

WebFritzi

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Wie ist denn dein Ansatz für (a) ==> (b) ?

04.11.2007, 15:51

Spiggie

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das ist die gute frage ^^
wenn f injektiv und C eine Teilmenge von A ist, dann ist ja $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ in C umkehrbar und f auch. Ist des so richtig? Und wenn ja, wie schreib ich des dann mathematisch korrekt auf?

04.11.2007, 15:54

WebFritzi

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Du sollst in (b) eine Gleichheit von Mengen beweisen. Wie macht man das normalerweise?

04.11.2007, 15:59

Spiggie

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Wenn zwei Mengen gleich sind, dann ist die eine Menge Teilmenge der anderen und umgekehrt.

04.11.2007, 16:01

WebFritzi

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Ja. Das heißt, du nimmst dir ein beliebiges Element der einen Menge und zeigst, dass es in der anderen Menge enthalten ist.

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04.11.2007, 16:09

Spiggie

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also es gibt ein $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} C \subset A \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ .

€: Aber wie mach ich jetzt weiter?

04.11.2007, 16:15

WebFritzi

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Du sollst $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(C)) \end{eqnarray*}$ zeigen. Was bedeutet das?

04.11.2007, 16:24

Spiggie

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Wenn $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(C)) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2007, 16:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Spiggie
Wenn $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(C)) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$

Ja, aber wieso denn?

04.11.2007, 16:36

Spiggie

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gute frage, das steht so im skript, aber ka warum das so ist.

04.11.2007, 16:41

WebFritzi

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Dann nochmal meine Frage: Was bedeutet $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(C))? \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 16:53

Spiggie

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sorry, ich hab echt keine ahnung. geb mir mal bitte n denkanstoss

04.11.2007, 17:21

WebFritzi

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Es heißt "gib". Für eine Menge $\begin{eqnarray*} D\subset B \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(D) = \{x\in A : f(x)\in D\}. \end{eqnarray*}$

Das sollte aber eigentlich auch in deinem Skript stehen.

04.11.2007, 17:53

Spiggie

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Ok, ich versuche dann, meine Grammatik zu verbessern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wie wende ich das dann auf $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(C)) \end{eqnarray*}$ an?

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(C)={x \in C : f(x) \in A})=C \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 17:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Spiggie
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(C)) = \{x \in C : f(x) \in A\} \end{eqnarray*}$

Nein. Du hast nicht richtig eingesetzt.

04.11.2007, 19:09

Spiggie

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sorry, dass ich jetzt erst antworte, hab deine antwort nicht gesehen unglücklich

unglücklich

aber wie muss es denn dann aussehen?

04.11.2007, 19:14

WebFritzi

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Das werde ich dir nicht sagen, denn das solltest du schon selber können. Du musst einfach nur einsetzen in das, was ich oben geschrieben habe.

04.11.2007, 19:45

Spiggie

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$\begin{eqnarray*} f(C) = \{f(x) ~|~ x \in A \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(C) = \{x\in A ~|~ f(x)\in C\} \end{eqnarray*}$

soweit stimmts?

04.11.2007, 19:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von Spiggie
$\begin{eqnarray*} f(C) = \{f(x) ~|~ x \in A \} \end{eqnarray*}$

Falsch.

Zitat:

Original von Spiggie
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(C) = \{x\in A ~|~ f(x)\in C\} \end{eqnarray*}$

Richtig.

04.11.2007, 19:53

Spiggie

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und was genau ist falsch?

05.11.2007, 13:42

WebFritzi

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Entschuldige bitte, aber das ist jetzt so trivial, dass du es selber sehen solltest.

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