Grenzwert von Potenzen

04.11.2007, 13:50	Paddue	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Potenzen Moin! Ich hab folgende Aufgaben bekommen und nun weiß ich nicht, wie bzw. wo ich starten soll. : 1. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n²} \end{eqnarray}$ Wie geht man an eine solche Aufgabe ran? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n}-3^{n}} \end{eqnarray}$ Diese Aufgabe kann ich rennen.... einfach 3^{n} ausklammern.... das is ja kein Ding ... nur wie geh ich an die obrige ran? Liebe Grüße Paddue PS: Vielen Dank!
04.11.2007, 14:17	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} 2^n\geq n^3 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq10 \end{eqnarray}$ .
04.11.2007, 14:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
zur 1: die vermutung ist ja, dass dieser term gegen unendlich divergiert. um das zu zeigen, kann man zeigen, dass der kehrwert gegen 0 konvergiert. und wenn eine folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray} \sqrt{a_n} \end{eqnarray}$ gegen 0 und andersrum (stetigkeit der wurzelfunktion) also müssen wir nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{n^2}{2^n}} = \frac{n}{\sqrt{2}^n} \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert. nun ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2} > 1 \end{eqnarray}$ und auch $\begin{eqnarray} \sqrt{\sqrt{2}} > 1 \end{eqnarray}$ . wir setzen $\begin{eqnarray} \sqrt{\sqrt{2}} = 1+h \end{eqnarray}$ nun versuch mal mit hilfe der bernoullischen ungleichung $\begin{eqnarray} (1+h)^n \geq 1 + hn \end{eqnarray}$ eine abschätzung für $\begin{eqnarray} \sqrt{2}^n \end{eqnarray}$ zu gewinnen. edit: ok der hinweis von therisen ist irgendwie eleganter
04.11.2007, 14:31	Paddue	Auf diesen Beitrag antworten »
g Ich muss dazu sagen, dass ich in Mathe relativ schlecht bin.... immoment bin ich fleißig am Nacharbeiten ... aber von der bernoullischen ungleichung hab ich noch nie was gehört. Gibts da keine einfachere Lösung? Hmm irgendwie versteh ich nur Bahnhof! therisen wie kommst du denn auf n³? LG Paddue
04.11.2007, 14:36	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ wächst schneller als jedes Polynom $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ , egal wie groß du k wählst. Nun ist aber $\begin{eqnarray} \frac{n^3}{n^2}=n \end{eqnarray}$ und das geht für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ .
04.11.2007, 14:46	Paddue	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Vielen Dank! Schönen Sonntag noch!
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