glaube extremalaufgabe

04.11.2007, 13:55

schnube

glaube extremalaufgabe

Hallo, ich hab ein kleines problem. eine aufgabe macht mich krank komm da einfach nicht weiter. also aus einem zylindischen stamm mit dem durchmesser d=50 cm soll ein balken mit rechteckigenm querschnitt gesägt werden, der eine möglichst große tragfähigkeit hat.
Dabei ist aus untersuchungen bekannt, dass die tragfähigkeit T zur breite x und zum quadrat der höhe y proportional ist!
T~x und T~y^2.
Meine frage ist wie muss nun gesägt werden?
kann mir jemand den anfang davon sagen wie man da vorgehen muss danke!!

04.11.2007, 17:36

lego

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wenn ich keinen denkfehler habe, was bei mir ohne skizze durchaus der fall sein kann, dann wissen wir, dass der halbe durchmesser des stammes die hypothenuse in dem dreieck mit katheten x/2 und y/2 ist.

somit ist 25²=(x/2)²+(y/2)²

nun kannst du x in abhängigkeit von y oder umgekehrt ausdrücken und dei der Funktion

T(x oder y)=x * y² das Maximum bestimmen

04.11.2007, 17:46

WebFritzi

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Meiner Meinung nach ist nicht klar, was T~x überhaupt bedeuten soll, da T ja von x und y abhängt. Ich denke, es ist folgendes gemeint:

Für jedes feste y gilt T(x,y) ~ x, was nichts anderes bedeutet als T(x,y) = f(y) * x mit einer Funktion f. Genauso folgt aus T~y² : T(x,y) = g(x) * y² mit einer Funktion g. Es folgt

f(y) * x = g(x) * y² für alle x,y

==> $\begin{eqnarray*} \frac{f(y)}{y^2} = \frac{g(x)}{x} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{eqnarray*}$

Das bedeutet aber, dass die Funktionen auf rechter und linker Seite der letzten Gleichung konstant sein müssen. Es gibt also ein von x und y unabhängiges c, so dass

$\begin{eqnarray*} \frac{f(y)}{y^2} = c = \frac{g(x)}{x} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich

f(y) = c * y² und g(x) = c * x,

und somit

T(x,y) = f(y) * x = cxy².

04.11.2007, 17:54

WebFritzi

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Ich habe $\begin{eqnarray*} x = \frac{50}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ raus.

04.11.2007, 19:23

schnube

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danke für eure hilfe!!! smile

ich seh aber mit den c nicht durch.
also musste es nun T(x)=k*x*(50^2 - x^2)

aber wie komme dahin?
PS: danke

04.11.2007, 21:24

schnube

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kann mir einer sagen ob die funktion richtig ist.
ist wichtig weil ich bald ne klausur schreibe!!
danke im voraus Wink

05.11.2007, 01:04

lego

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das c, oder k oder wie auch immer ist ein konstanter faktor, bleibt also beim ableiten vorne stehen und wenn du die erste ableitung 0 setzt, dann kann man es wegkürzen, somit macht es keinen unterschied mehr

c soll natürlich ungleich null sein, sonst macht das ganze keinen sinn

edit: deine funktion stimmt so

05.11.2007, 13:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von lego
edit: deine funktion stimmt so

Nein, tut sie nicht. Es muss natürlich 25² anstatt 50² heißen.

05.11.2007, 18:44

lego

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25²=(x/2)²+(y/2)²

25²-(x/2)²=(y/2)²

25²-(x²/4)=y²/4

4*25²-x²=y²

50²-x²=y²

eingesetzt in die funktion gibt das seine funktion imho

05.11.2007, 21:25

schnube