Frage bzgl. Beweis mit Matrizen

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KlausPetersen Auf diesen Beitrag antworten »
Frage bzgl. Beweis mit Matrizen
Hallo,
wir sollen folgende Aussage beweisen, aber irgendwie steh ich auf dem Schlauch und weiß nicht so weiter.
Ich hab zwar einen Ansatz, allerdings befürchte ich, dass dieser nicht ansatzweise Korrekt ist.


Sei . Zeigen Sie: Ist das lineare Gleichungssystem für jedes lösbar, so gibt es eine Matrix mit


Mein Ansatz war wie folgt:






Was mich hierdran stört, ist dass ich die Einheitmatrix durch AA' ersetze, sprich dass ich im Beweis meine Behauptung verwende.

Allerdings komm ich auch nicht irgendwie weiter, wäre also nett wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Ein Ansatz würde (hoffentlich) schon reichen, sofern der Beweis oben wirklich falsch ist.

PS: Für viele wird dieser Beweis vermutlich simpel sein, allerdings fange ich erst an und wäre nett wenn ihr nen Tipp oder ähnliches hättet.

MFG
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage bzgl. Beweis mit Matrizen
Zitat:
Original von KlausPetersen
Sei . Zeigen Sie: Ist das lineare Gleichungssystem für jedes lösbar, so gibt es eine Matrix mit


Das ergibt keinen Sinn. Erstens kann AA' gar nicht gebildet werden, falls und zweitens verstehe ich nicht, was bedeuten soll für eine Matrix B. Ich hoffe, du kannst das klären.
KlausPetersen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
oh sorry, kleiner Tippfehler meinerseits, bin noch nicht so vertraut mit der Verwendung von Latex.

Richtug muss es lauten:
Sei . Zeigen Sie: Ist das lineare Gleichungssystem für jedes lösbar, so gibt es eine Matrix mit


Also wenn das Gleichungssystem für jedes b lösbar ist, so existiert eine Matrix A', so dass man die Einheitsmatrix erhält wenn man A und A' multipliziert.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt einen Unterraum W von , so dass



Setze . Dann ist bijektiv, und A hat (bzgl. der Zerlegung ) die Form



Dabei sind . Definiere nun



wo Anders ausgedrückt gilt für Es folgt also

KlausPetersen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
danke für deine Mühe, allerdings versteh ich nicht was da steht traurig , da wir dieses in der Vorlesung noch nicht durchgenommen haben, bzw. auch noch nicht definiert haben und vermute mal wir es noch nicht verwenden dürfen.

Zu Matrizen haben wir bisher (nur 2 Vorlesungen) die Addition, Skalarmultiplikation, Multiplikation (inkl. Rechenregeln wie Assoziativgesetzt) sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix (A | b) definiert/eingeführt.
Des Weiteren die Zeilenstufenmatrix sowie das Lösbarkeitskriterium von Zeilenstufenmatrizen.


Leider haben wir noch nicht gehabt wie man das Invers einer Matrix bildet, sondern nur gezeigt, dass nicht jede Matrix ein Invers besitzt anhand eines Beispieles.

Ich hab mal bei Wikipedia nachgeguckt, welches die Kriterien für die Existenz einer inversen Matrix ist, dort ist u.A. aufgeführt:

Für alle existiert (genau|mindestens|höchstens) eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b

Invertierbare Matrizen über einem Körper

Wenn ich mir das so durchlese und sage dass mein x = A'b sei, dann sieht die Beweisführung oben gar nicht so schlecht aus, da ich ja A' mit b multiplizieren darf.
Dennoch habe ich bei dem Beweis oben immer noch ein ungutes Gefühl, aber vielleicht kannt er ja verstreut werden?

Grüße
Klaus
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KlausPetersen
Zu Matrizen haben wir bisher (nur 2 Vorlesungen) die Addition, Skalarmultiplikation, Multiplikation (inkl. Rechenregeln wie Assoziativgesetzt) sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix (A | b) definiert/eingeführt.
Des Weiteren die Zeilenstufenmatrix sowie das Lösbarkeitskriterium von Zeilenstufenmatrizen.


Dann finde ich es einfach unglaublich bescheuert, dass euch eine solche Aufgabe gestellt wird. Ihr könnt sie eigentlich noch gar nicht lösen.


Zitat:
Original von KlausPetersen
Wenn ich mir das so durchlese und sage dass mein x = A'b sei, dann sieht die Beweisführung oben gar nicht so schlecht aus


Das Problem ist, dass du A' nicht durch x = A'b definieren kannst, denn es gibt (falls ) mehrere (und zwar unendlich viele) x'e mit Ax = b.

Nee, also meiner Meinung nach ist die Aufgabe mit deinem Wissensstand nicht lösbar.
 
 
KlausPetersen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von KlausPetersen
Zu Matrizen haben wir bisher (nur 2 Vorlesungen) die Addition, Skalarmultiplikation, Multiplikation (inkl. Rechenregeln wie Assoziativgesetzt) sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix (A | b) definiert/eingeführt.
Des Weiteren die Zeilenstufenmatrix sowie das Lösbarkeitskriterium von Zeilenstufenmatrizen.


Dann finde ich es einfach unglaublich bescheuert, dass euch eine solche Aufgabe gestellt wird. Ihr könnt sie eigentlich noch gar nicht lösen.

hmm, das ist natürlich schlecht.

Unser Tutor gab uns den Tipp, man solle sich bestimmte b's angucken und man könnte dann darüber argumentieren (mehr wollte er aber nicht verraten). Wir vermuteten er meine damit Einheitsvektoren, allerdings half dies auch nicht so richtig weiter, bzw. darüber sind wir auf keinen passenden Weg gekommen.

MFG
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut. So geht es natürlich auch. Man nimmt sich Vektoren so dass gilt für Dabei sind freilich die e_k die Einheitsvektoren des . Dann definiert man

(beachte, dass die Spaltenvektoren sind mit n Einträgen).

Dass nun AA' die Einheitsmatrix ist, musst du selber rausfinden. Augenzwinkern


EDIT: Sorry. Ich hatte einfach nicht gesehen, dass die Aufgabe auch mit so elementaren Mitteln lösbar ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hat dich das jetzt weitergebracht, Klaus Petersen?
KlausPetersen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
jo danke, hat sehr geholfen.
Habs heute mal formal aufgeschrieben und dann ist es ja logisch dass wenn man A * A' rechnet man ja die erste Zeile von A mit der ersten Spalte von A', also x_1, multipliziert und somit das erste Elemte von e_1, also 1, erhält usw.

Danke für deine Mühe Freude
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