Maximum und Minimum einer Menge M

Neue Frage »

04.11.2007, 15:47	FallenSeraph	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum und Minimum einer Menge M Hallo zusammen, ich habe diesmal ein Problem eine Aufgabe mathematisch korrekt zu lösen bzw. eher aufzuschreiben... Also, es geht um die Menge $\begin{eqnarray} M:=\{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{m}\|n,m \in \mathbb N \} \subseteq\mathbb R \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt - soweit vorhanden - Maximum, Minimum, Supremum und Infimum von M bestimmen. Wenn ich für n,m jetzt also jeweils die kleinste natürlich Zahl also =1 wähle, dann wird das wohl das Maximum sein. - 2 ist kleinste obere Schranke - 2 ist in M --> Maximum Wie schreib ich das auf? Bzw... muss ich zeigen dass 1/n > 1/(n+1) ist? Danke schonmal für eure Hilfe!
04.11.2007, 15:53	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum und Minium einer Menge M Hey, schreib doch erstmal deine Vermutungen auf, d.h. du hast ja schon mal angefangen mit $\begin{eqnarray} \max M=\sup M=2,~\inf M=\ldots \end{eqnarray}$ Dann gilt es den Beweis aufzuschreiben, dass diese Vermutungen wirklich stimmen. Zeige erstmal, dass 2 in der Menge liegt - das ist relativ einfach. Dann musst zu zeigen, dass es kein Element in M gibt, dass größer als 2 ist. Dafür kannst du ausnutzen, dass $\begin{eqnarray} m,n\geq 1 \end{eqnarray}$ . Eine Abschätzung liefert das nötige Ergebnis. Beim Infimum solltest du dir erstmal klar machen, was du zeigen willst (sprich: Was ist dein Infimum?) Dann musst du zeigen, dass es keine größere untere Schranke als dieses Infimum gibt.
04.11.2007, 16:12	FallenSeraph	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dass $\begin{eqnarray} 2\in M \end{eqnarray}$ ist bekomm ich hin, indem ich einfach n und m = 1 wähle, oder? Dann erhalte ich das Element $\begin{eqnarray} \frac{1}{1}+ \frac{1}{1} =2 \end{eqnarray}$ welches natürlich in M liegt da n=1 und m=1 aus IN sind, oder? Jetzt bleib ich aber schon wieder hängen, ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass es kein größeres Element als 2 gibt... ich mir sind die sachen rein logisch schon klar - aber ich komm einfach nie darauf, wie ich sowas hinschreibe...
04.11.2007, 16:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
aus a + b > 2 folgt, dass a > 1 ist oder b > 1 ist.
04.11.2007, 16:30	FallenSeraph	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} a+b>2 \end{eqnarray}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray} a>1 \vee b>1 \end{eqnarray}$ sein muss, brauch ich nur zu zeigen, dass auf Grund von $\begin{eqnarray} n,m\ge 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{m} \end{eqnarray}$ jeweils nicht größer als $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ werden können. Daraus folgt es gibt in M kein größeres Element als 2. Das wiederum heißt, 2 ist Maximum / Supremum von M.
04.11.2007, 16:31	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der erste Teil ist richtig, in dem du dir m=1 und n=1 wählst. Klar. Dann weißt du, dass für alle $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x=\cfrac{1}{m}+\cfrac{1}{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m,n\geq 1 \end{eqnarray}$ Dann kannst du schreiben: $\begin{eqnarray} x=\cfrac{1}{m}+\cfrac{1}{n}\leq\ldots \end{eqnarray}$ Was kommt da jetzt wohl hin? Nutze die obige Ungleichung...
Anzeige

04.11.2007, 16:36	FallenSeraph	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x = \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \le 2 \end{eqnarray}$ ? Das ist für mich jetzt so einfach der Schluss daraus ...
04.11.2007, 16:37	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
So: $\begin{eqnarray} x=\cfrac{1}{m}+\cfrac{1}{n}\leq\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{1}=2 \end{eqnarray}$ Warum? $\begin{eqnarray} m,n\geq 1 \end{eqnarray}$
04.11.2007, 16:42	FallenSeraph	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst bestimmt das hier, oder? ... $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{n} +\frac{1}{m}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n,m\ge1 \end{eqnarray}$ Weil sonst wär das ja ein Widerspruch...
04.11.2007, 16:50	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja na klar, da habe ich mich einfach vertippt
04.11.2007, 16:59	FallenSeraph	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich beim Infimum nicht einfach schreiben, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} =0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} =0 \end{eqnarray}$ dann auch $\begin{eqnarray} \lim_{\substack{n \to \infty\\m \to \infty}} \frac{1}{n} + \frac{1}{m} =0 \end{eqnarray}$ Und deshalb das inf(M)=0, wobei 0 nicht Element von M ist und es deshalb kein Minimum gibt...
04.11.2007, 17:13	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch elementarer. Ich denke nicht, dass ihr in der Vorlesung schon Grenzwerte oder ähnliches hatte. Das ist nämlich so eine Standardaufgabe zum Üben des Beweisens von Supremum und Infimum...
04.11.2007, 17:16	FallenSeraph	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten in der VL schon Grenzwerte von Folgen... aber ich kann ja sagen, dass 1/n > 1/(n+1) und auf jeden Fall nie negativ oder Null da n ja größer oder gleich 1 ist...

Neue Frage »

Antworten »

Maximum und Minimum einer Menge M

Verwandte Themen