Würfeln und reelle Nullstellen

04.11.2007, 17:26

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Würfeln und reelle Nullstellen

Hey,

durch dreimaliges Würfeln mit einem idealen Würfel werden drei Zahlen ermittelt, die als Koeffizienten in die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ eingehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gleichung reelle Nullstellen hat???

Hab mir erstmal folgendes überlegt:

Laplace-Experiment? Nun - es gibt doch $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ mögliche Fälle. Nun suche ich noch die günstigen. Das sind die, bei denen die Diskriminante

$\begin{eqnarray*} b^2-4ac\geq 0 \end{eqnarray*}$

ist. Aber diese Bedingung bringt mich doch nicht wirklich weiter, oder?

Wie kann ich hier einen besseren Ansatz finden?

Danke für eure Hilfe Wink

04.11.2007, 17:30

tigerbine

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Rückfrage
3x Würfeln heißt dann W1->a, W2->b, W3->c ?

Mit der Diskriminante $\begin{eqnarray*} b^2-4ac\geq 0 \end{eqnarray*}$ folgt ja, dass a und c "gleichberechtigt" eingehen. D.h. die Würfelergebnisse 123 und 321 wären für die JA/NEIN Frage gleichwertig, oder?

Ausser einer "systematischen" Fällearbeitung habe ich aber leider keine Idee. Wink

04.11.2007, 17:44

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RE: Rückfrage
Hey tigerbine,

ja, der erste Wurf ist a, der zweite Wurf ist b, der dritte Wurf ist c.

Ich habe das auch schon überlegt, Fall für Fall abzuarbeiten, aber es ist doch sehr aufwändig. Hatte gehofft, einen etwas einfacheren Lösungsweg zu bekommen.

Ansonsten hast du natürlcih recht, bei a und c scheint es ja egal zu sein. Ich schaus nochmal durch, wenn jemand eine Idee hat, würde mich freuen Freude

04.11.2007, 18:56

tigerbine

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RE: Rückfrage
Welche Zahlen kann man denn mit a und c darstellen.

$\begin{eqnarray*} \underline{1},\underline{2},\underline{3},\underline{4},\underline{5},\underline{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2,4,6,\underline{8},\underline{10},\underline{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3,6,\underline{9},12,\underline{15},\underline{18} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4,8,12,\underline{16},\underline{20},\underline{24} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5,10,15,20,\underline{25},\underline{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6,12,18,24,30,\underline{36} \end{eqnarray*}$

Macht

code:

1:
2:
3:

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 & 9 & 10 & 12 & 15 & 16 & 18 & 20 & 24 & 25 & 30 & 36
-----------------------------------------------------------------------------------
1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & 1 &  2 &  4 &  2 &  1 &  2 &  2 &  2 &  1 &  2 &  1

Prüfsumme: 36

Welche Zahlen kann man mit b² darstellen?

$\begin{eqnarray*} 1,4,9,16,25,36 \end{eqnarray*}$

Nun würde ich die Anzahl der Möglickeiten wie folgt berechnen:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:

b=1 => 1

b=2 => 1+2+2+3 = 8

b=3 => 1+2+2+3 +2+4+2 = 16

b=4 => 1+2+2+3 +2+4+2 +1+2+4+2+1 = 26

b=5 => 1+2+2+3 +2+4+2 +1+2+4+2+1 +2+2+2+1 = 33

b=6 => 1+2+2+3 +2+4+2 +1+2+4+2+1 +2+2+2+1 +2+1 = 36
---------------------------------------------------------------------------------------------

1+8+16+26+33+36 = 120

Dann wäre die WS bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{120}{6^3} = \frac{5}{9} \approx 55.56 % \end{eqnarray*}$

Wie beim Lotto, alle Angaben ohne Gewähr.

04.11.2007, 19:37

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Zitat:

Original von tigerbine
Wie beim Lotto, alle Angaben ohne Gewähr.

Dein Glück - denn anscheinend hast du $\begin{eqnarray*} b^2-ac \geq 0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} b^2-4ac \geq 0 \end{eqnarray*}$ betrachtet... Augenzwinkern

Aber grundsätzlich fällt mir was schnelleres, als die Gitterpunkte systematisch durchzugehen, auch nicht ein.

04.11.2007, 20:13

tigerbine

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Uups, diese kleine 4.... Finger1

Ohne Brille (und Hirn) sollte ich nicht tippen...Dann muss ich nach dem Essen wohl nochmal ran...

04.11.2007, 20:21

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@tigerbine und ArthurDent:

Vielen Dank für eure Hilfte. Besonders tigerbine hat sich ja echt viel Arbeit gemacht. Bist toll Mit Zunge

Ich habe nun auch schon mal gerechnet, und bekomme 43 günstige Ereignisse raus, damit

$\begin{eqnarray*} p(A)=\cfrac{43}{216}=0,1991 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verzählt habe, müsste das stimmen.

@tigerbine: Lass es dir schmecken Augenzwinkern

04.11.2007, 20:33

tigerbine

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Ich würde nun auch auf 43 günstige Fälle kommen. Augenzwinkern

Und nun geh ich aber wirklich essen. Wink

04.11.2007, 20:38

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Super! Ich danke dir ganz doll!

05.11.2007, 13:53

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Wollt mich nochmal kurz zu der Aufgabe äußern: Wir haben die heute in der Übung verglichen und auch unser Dozent meinte, dass es hier keine bessere Lösung gäbe, als das systematische Abzählen.

Also war der Vorschlag mit der Tabelle richtig gut!

Nochmal dickes Danke Wink

05.11.2007, 13:58

tigerbine

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Das Glück ist mit den ....

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