Gleichmächtigkeit

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04.11.2007, 18:42	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtigkeit Abend, Es sei M eine Menge zeigen sie M gleichmächtig zu M Eine Menge gilt ja als Gleichmächtig zu einer anderen wenn es eine bijektive Abb. gibt. Also Sei F:M->M eine Abb. M1=M2 => Für alle x e M1 genau ein x eM2 existiert => Für alle x e M2 gibt es genau ein x e M1 : F(x)=x.... des waren meine bisherigen gedanken.. ich mag schwer bezweifeln, dass dies der aufgabe genüge tut.. was ich vll auch noch in betracht ziehen könnte währe die umkehrfunktion obwohl das ja eingtlich auch nichts anderes wäre als bijektivität nachzuweisen... also mein konkretes problem ist: ich kenn die eingeschaft für bijektiv aber ich weis nicht wie ich sie in dem fall anzuwenden habe
04.11.2007, 18:45	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr die identische Abbildung $\begin{eqnarray} \mathrm{id} \end{eqnarray}$ definiert?
04.11.2007, 18:48	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja haben wir. idm:M->M... ist stets bijektiv, war auch mein erster gedanke als ich die aufgabe gelesen habe aber zu verwenden weis ich sie auch nicht wirklich. ich kann ja nicht sagen entrpich der id und die ist .... bzw kann ich sicher auch nicht einfach safen F = idm
04.11.2007, 18:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar kannst du das sagen. Die Aufgabe ist fast schon zu einfach
04.11.2007, 18:54	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
sozusagen M ist gleichmächtig zu M wenn eine bijek. Abb. besteht. Annahme F:M->M Abb. => F = idm => M gleichmächtig zu M wäre, M1=M2 => Für alle x e M1 genau ein x eM2 existiert => Für alle x e M2 gibt es genau ein x e M1 : F(x)=x.... nicht auch irgendwie richtig?
04.11.2007, 18:57	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle x e M1 genau ein x eM2 existiert => Für alle x e M2 gibt es genau ein x e M1 Das ist eine im Allgemeinem falsche Aussage Es reicht vollkommen aus eine bijektive(nachweisbar!) Abbildung zwischen den beiden Mengen anzugeben. Und hier bietet sich die Identität natürlich an
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04.11.2007, 19:01	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstmal also irgenswie ist das ja schon komisch immer wenn man die lösung dann weis, muss man an die aufgabenstellung denken.... zz es gibt eine bijek. Abb. M->M... und man stellt fest der erste gedanke ist meistens der beste...
04.11.2007, 19:25	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
nur mal so.... das die idm bijektiv ist zeige ich einfach in dem ich die eigenschaften dafür aufzeige, sprich Vx1,x2 e M gilt x1 != x2 => idm(x1) != idm(x2) injek. Vx e M existiert x e M mit idM(x) = x weil zu id haben wir keine beweise, es kommt lediglich in einem beispiel im script vor... explizit steht da : Für alle Mengen M ist die Abbildung idm: M-> M mit idm(x) = x definiert. Sie heißt identität und ist stets bijek.
04.11.2007, 19:29	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber das zeigen der Eigenschaften ist ja im Prinzip nur abschreiben der Definition
04.11.2007, 19:31	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig. dann verstehs du auch warum ich mich nicht gut dabei fühle. letzendlich stehe ich jetzt wieder da wo ich angefangen habe... ich kenne die eigenschaften einer bijekt abb und deren definition, nur weis ich nicht wie ich nachweise das eine abb bijektiv ist, da fehlt es mir schon im ansatz.. wie teste ich ob Vy e N 3! x e M mit F(x)=y ob das jetzt die idm oder F:M->M ist,kommt sich da ja gleich
04.11.2007, 19:35	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
z.z. ist das $\begin{eqnarray} \forall y\in M \exists x \in M: f(x) = y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f = \mathrm{id}_m \end{eqnarray}$ . Es reicht eines anzugeben und das ist hier x=y. Injektiv kannst du anhand deiner Definition unten genauso überprüfen.
04.11.2007, 19:54	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich finde es wird immer komplizierter... $\begin{eqnarray} \forall y\in M\; \exists ! x \in M : f(x) = y \end{eqnarray}$ wäre doch schon die eigenschaft die die $\begin{eqnarray} id \end{eqnarray}$ M haben muss umbijektiv zu sein. das gilt als z.z. . und genau das ist mein Problem, im ansatz. Das x=y klar. aber ich kann das ja so unter jede Abbildung schreiben und sagen das gilt.. wie zeig ich das es gilt
04.11.2007, 19:59	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) = y \end{eqnarray}$ Jetzt wenden wir die Abbildungsvorschrift an: $\begin{eqnarray} x = y \end{eqnarray}$ . Das es jetzt dieses x gibt und das es kein anderes x gibt sollte doch klar sein. Das ist bereits der Beweis! Gäbe es ein anderes x so wäre dies wieder gleich y im Widerspruch dazu das es ein anderes ist. Das ganze ist so elementar das du das schwere beim Beweisen wohl suchst...
04.11.2007, 20:14	haqqi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin so klug wie als zuvor. aber danke dir mal ich denk es ist etwas das ich einfach allein verstehen muss

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