Direkte Summe 2

04.11.2007, 22:10

Joe1

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Direkte Summe 2

Hallo,

kann mir jmd einen ansatz verraten :S

Aufgabe:

Seien U1, U2 Unterräume eines Vektorraumes V. Zeige, dass V = U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 genau dann, wenn es zu jedem v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V genau ein Paar (u1,u2) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (Menge aller Paare von U1 und U2) existiert, sodass v=u1+u2.

04.11.2007, 22:30

therisen

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Wie habt ihr denn $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ definiert?

04.11.2007, 22:35

Joe1

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Definition 1.9.3: Seien U1 und U2 Unterräume eines Vektorraumes V über K(K=R oder C), und sei U1 geschnitten U2 ={0}. Dann nennen wir die Summe U1+U2 auch eine direkte Summe und schreiben U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2. In diesem Fall gilt also die gleichung:

dim(U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2) = dim U1 + dim U2,

04.11.2007, 22:42

Joe1

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und zu jedem u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 gibt es genau ein Paar u1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 und u2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U2 mit u = u1+u2. Entsprechend definieren wir die Summe U1 + ... +Um endlich vieler Unterräume U1,...,Um von V als die Menge aller u = u1 + ... + um mit uj $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Uj, 1<=j<=m, und nennen die Summe direkt und schreiben dann U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ Um, wenn für uj $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Uj die Gleichung

0 = u1 + ... + um

nur dann bestehen kann, wenn u1 = ... = um = 0 ist.

04.11.2007, 22:56

Joe1

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Vllt so?

aufgabe: A <=> B

"B=>A": Ich zeige U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 = V unter der Vorraussetzung B

Aus B folgt: dim(V) = dim(U1) + dim(U2) (nach definition)

und daraus folgt dann irgendwie, dass V = U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 (?)

04.11.2007, 23:07

Joe1

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Oder vllt so:

aus U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 folgt

$\begin{eqnarray*} \forall u\in U1 \oplus U2\exists !(u1,u2) \in U1\times U2: u=u1+u2 \end{eqnarray*}$

und da auch folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall v\in V\exists !(u1,u2) \in U1\times U2: v=u1+u2 \end{eqnarray*}$

folgt daraus:

V=U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2

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04.11.2007, 23:07

therisen

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RE: Direkte Summe 2

Zitat:

Original von Joe1
V = U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 genau dann, wenn es zu jedem v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V genau ein Paar (u1,u2) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (Menge aller Paare von U1 und U2) existiert, sodass v=u1+u2.

Die Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ist einfach.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ : Wegen $\begin{eqnarray*} V=U_1\oplus U_2 \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} u_1+u_2=0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} u_1=u_2=0 \end{eqnarray*}$ . Die Existenz einer Zerlegung $\begin{eqnarray*} v=u_1+u_2 \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls klar. Hat man zwei Zerlegungen $\begin{eqnarray*} u_1+u_2=u_1'+u_2' \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} \underbrace{(u_1-u_1')}_{\in U_1}+\underbrace{(u_2-u_2')}_{\in U_2}=0 \end{eqnarray*}$ .

Den letzten Satz darfst du ergänzen.

Gruß, therisen

04.11.2007, 23:22

Joe1

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daraus folgt, dass u1=u1' und u2=u2' ? Verstehe ich aber trotzdem noch nciht so ganz ... ich schaus mir noch was an Big Laugh

Big Laugh

04.11.2007, 23:27

Joe1

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stimmt die $\begin{eqnarray*} \leftarrow \end{eqnarray*}$ richtung bei meinem vorletzten post?

04.11.2007, 23:29

therisen

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Bei der Rückrichtung ist nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$ .

05.11.2007, 22:17

Joe1

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kann man sagen, dass U1 x U2 -> V eine Bijektive abbildung ist, weil ja genau ein paar ein element aus V darstellt?

05.11.2007, 22:20

therisen

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Ja, kann man.

05.11.2007, 22:40

Joe1

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also man muss für die -> richtung bloß die eindeutigkeit zeigen? nicht noch irgendwie, dass jeder vektor aus V durch Die Menge aller Paare von U1 und U2 dargestellt werden kann?

zur <- richtung: folgt nicht schon aus der Definition der direkten Summe, dass V= U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 ist?

05.11.2007, 22:45

therisen

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Zitat:

Original von Joe1
also man muss für die -> richtung bloß die eindeutigkeit zeigen?

Genau.

Zitat:

Original von Joe1
nicht noch irgendwie, dass jeder vektor aus V durch Die Menge aller Paare von U1 und U2 dargestellt werden kann?

Das ist wegen $\begin{eqnarray*} V=U_1\oplus U_2 \end{eqnarray*}$ schon nach Definition der Fall.

Zitat:

Original von Joe1
zur <- richtung: folgt nicht schon aus der Definition der direkten Summe, dass V= U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 ist?

Ich sagte ja, diese Richtung ist geschenkt.

05.11.2007, 22:48

Joe1

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Yess! danke smile

smile

05.11.2007, 23:01

Joe1

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hab doch noch ne Frage: :P

Sei das unsere Beh.:
$\begin{eqnarray*} V=U1\oplus U2 \Leftarrow\Rightarrow \forall v\in V \exists! (u1,u2)\in U1\times U2: v=u1+u2 \end{eqnarray*}$

bist du dir sicher mit den richtungspfeilen?

05.11.2007, 23:05

therisen

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Wie ist deine Frage zu verstehen?

<= ist klar und bei => muss man die Eindeutigkeit zeigen. So wie hier.

05.11.2007, 23:23

Joe1

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zu ->

warum kann ich nicht aus der definition:

zu jedem u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2 gibt es genau ein Paar u1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 und u2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U2 mit u = u1+u2

und V=U1 $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U2
schließen, dass:

zu jedem u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V gibt es genau ein Paar u1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 und u2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U2 mit u = u1+u2

05.11.2007, 23:37

therisen

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Die Definition war doch: $\begin{eqnarray*} V=U_1\oplus U_2 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn gilt:

(i) $\begin{eqnarray*} V=\langle U_1\cup U_2\rangle=U_1+U_2 \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2=\{0\} \end{eqnarray*}$

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