ist diese e-Funktion (unendlich) stetig differenzierbar?

14.04.2005, 19:22

oldwise

ist diese e-Funktion (unendlich) stetig differenzierbar?

Ich habe die Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{matrix} 0 & : |x-2|\geq \frac{\pi}{2} \\ e^{-\frac{1}{\cos(x-2)}} & : |x-2| < \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun ob sie unendlich mal differenzierbar ist? Kann man da auch sagen stetig differenzierbar oder gilt das immer nur für die nächste Ableitung?

Um die Sache mir vereinfacht darzustellen, habe ich $\begin{eqnarray*} z:=\frac{1}{\cos(x-2)} \end{eqnarray*}$ substituiert.

Die erste Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\left\{ \begin{matrix} 0 & : |x-2|\geq \frac{\pi}{2} \\ -e^{-z} & : |x-2| < \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Ableitung wiederum ist $\begin{eqnarray*} f''(x)=\left\{ \begin{matrix} 0 & : |x-2|\geq \frac{\pi}{2} \\ e^{-z} & : |x-2| < \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$

(ich zeige natürlich vorhei das die Ableitungen jeweils überhaupt existieren)

daraus folgt, dass jede 2.Ableitung wieder wie die Ursprungsfunktion ist, also $\begin{eqnarray*} f''(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

damit wäre doch die (unendliche) Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{matrix} 0 & : |x-2|\geq \frac{\pi}{2} \\ e^{-z} & : |x-2| < \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$

gezeigt, oder?

Nun muß ich bloß noch zeigen, dass meine (substitution) z unendlich mal differenzierbar ist, was kein problem sein dürfte.

Ist diese Argumention ok, oder total falsch?

ich freue mich auf antworten! smile

14.04.2005, 22:18

flixgott

Auf diesen Beitrag antworten »

scheint ok? aber warum substituierst du nicht gleich so:
$\begin{eqnarray*} z:=-\frac{1}{\cos(x-2)} \end{eqnarray*}$

14.04.2005, 23:02

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von oldwise
Die erste Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\left\{ \begin{matrix} 0 & : |x-2|\geq \frac{\pi}{2} \\ -e^{-z} & : |x-2| < \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Irrtum, zumindest die untere Zeile. Was du dort berechnet hast, ist nicht $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z} \end{eqnarray*}$ - du hast schlicht und einfach die Kettenregel ignoriert! Dieser Fehler setzt sich dann im folgenden fort...

15.04.2005, 07:20

oldwise

Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst also, es müßte $\begin{eqnarray*} (z)' e^{-z} \end{eqnarray*}$ lauten?

15.04.2005, 07:56

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es - natürlich kann man das dann auch in Abhängigkeit von x formulieren.

15.04.2005, 07:59

oldwise

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke dir!

09.06.2005, 16:28

Der_Knuff

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

kann mir vielleicht irendjemand sagen, was "stetig differenzierbar" eigentlich bedeutet? Und wie weißt man sowas denn nach?
Danke schonmal!

09.06.2005, 18:30

oldwise

Auf diesen Beitrag antworten »

das bedeutet, dass eine Funktion endlich mal differenzierbar ist. das kann man z.bsp. mittels vollständiger Induktion beweisen.

10.06.2005, 18:26

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@oldwise
Das versteht man nicht unter stetig differenzierbar!

@Der Knuff
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt stetig differenzierbar auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und wenn die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Noch ein Zusatz:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt n-mal stetig differenzierbar auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ n-mal differenzierbar ist, wenn also die n-te Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ vorhanden ist, und wenn die n-te Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ zusätzlich in jedem Punkt aus $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Gruß MSS

21.01.2007, 22:17

MisterMagister

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn eine Funktion aus, die auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ differenzierbar aber nicht stetig differenzierbar ist?

Neue Frage »

Antworten »

ist diese e-Funktion (unendlich) stetig differenzierbar?

Verwandte Themen