Problem in zyklischer Gruppe

05.11.2007, 15:24

Quiet Robert

Problem in zyklischer Gruppe

Hallo Allerseits!
Habe mal wieder ein Problem. Dieses mal mit zyklischen Gruppen. Folgende Aufgabenstellung:

"Seit $\begin{eqnarray*} f:G_1 \rightarrow G_2 \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomorphismus und $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ zyklisch. Zeigen Sie, dass das Bild $\begin{eqnarray*} f(G_1) \subseteq G_2 \end{eqnarray*}$ eine zyklische Untergruppe ist."

Mein Anzatz ist jetzt:
$\begin{eqnarray*} \forall a^{n_1},a^{n_2} \in G_1 = (a) : f(a^{n_1}),f(a^{n_2}) \in G_2 \rightarrow f(a^{n_1}) \cdot f(a^{-n_2}) \in G_2 = f(G_1) \text{ Untergruppe } \\\rightarrow f(a^{n_1} \cdot a^{-n_2}) \in G_2 \rightarrow f(a^{n_1 - n_2 \in \mathbb Z}) \in G_2 \rightarrow f((a)) \subseteq G_2 \text{ zyklische Untergruppe} \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 15:36

therisen

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Du hast sehr komische Schreibweisen und umständlich ist das auch.

Kürzer: Die Komposition $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\twoheadrightarrow G_1\stackrel{f}{\twoheadrightarrow} G_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Epimorphismus. $\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 19:38

Quiet Robert

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hmm.....ok, sehen wir mal von meinen komischen Schreibweisen ab, war das richtig oder Falsch..............oder wenigstens Teilweise richtig?!?!?!?

05.11.2007, 19:41

therisen

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Mir ist nicht ganz klar, was du da eigentlich tust, du solltest weniger Quantoren verwenden und mehr deutsche Sätze bilden. Die Aussage $\begin{eqnarray*} f(G_1)=G_2 \end{eqnarray*}$ stimmt nur, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist. Warum zeigst du überhaupt, dass das Bild eine Untergruppe ist?

05.11.2007, 21:42

Quiet Robert

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hmm......ich würde sagen ich zeige das das Bild eine Untergruppe ist .... WEIL DAS IN DER AUFGABE STEHT!

05.11.2007, 21:52

Dual Space

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Die Untergruppeneigenschaft des Bildes ist nahezu trivial, da f ist ein Gruppenhomomorphismus ist!

Die Betonung bei der Aufgabe liegt auf "zyklisch".

An deiner Stelle würde ich mit Sequenzen in Großbuchstaben sparsamer umgehen.

05.11.2007, 22:05

Quiet Robert

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Was, Wie, Wieso? War das jetzt schlimm? War net meine Absicht!

05.11.2007, 22:06

Dual Space

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Nee war nicht schlimm - war präventiv gemeint. Siehst du nun ein, dass für die Untergruppeneigenschaft des Bildes nichts zu zeigen ist?

05.11.2007, 22:14

Quiet Robert

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ja, ich will ja zeigen das das Bild zyklisch ist

05.11.2007, 22:16

therisen

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Nimm den Erzeuger von $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ , etwa $\begin{eqnarray*} G_1=\langle x\rangle \end{eqnarray*}$ , und verwende $\begin{eqnarray*} f(x^n)=f(x)^n \end{eqnarray*}$ .

05.11.2007, 22:16

Quiet Robert

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Wie wäre es denn mit:

$\begin{eqnarray*} \text{1. } \exists n_0 \in \mathbb Z : a^{n_o} = e_1 \in G_1 \end{eqnarray*}$

aufgrund des Gruppenhomorphismus kann ich doch dann sagen

$\begin{eqnarray*} f(e_1)=e_2 \rightarrow f(a^{n_0} = e_2 \in G_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2: } (a) =\{a^n \in G_1 : n \in \mathbb Z\} \subset G_1 \rightarrow a^n \in G_1 \rightarrow f(a^n) \in G_2 \rightarrow f(a^n)=f((a)) \subset G_2 \end{eqnarray*}$

Zeigt das nicht, dass das Bild eine zyklische Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ ist?

05.11.2007, 22:17

Dual Space

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Und diese Variante gefällt dir nicht?

Zitat:

Original von therisen
Die Komposition $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\twoheadrightarrow G_1\stackrel{f}{\twoheadrightarrow} G_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Epimorphismus. $\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 22:20

Quiet Robert

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Ich glaub da versteh ich nicht, was das mit zyklisch zu tun hat.
Die zweite Möglichkeit von therisen gefällt mir ganz gut! Das ist einleuchtend! Ich glaub damit versuch ich's mal!

05.11.2007, 22:43

Quiet Robert

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Ich glaub ich hab was:
$\begin{eqnarray*} (a) = G_1 , f: G_1 \rightarrow G_2 \text{ Gruppenhomo } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a^n a^{-n}) = f(e_1) = e_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(a^n) f(a^{-n}) = e_2 = f(a)^n f(a)^{-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(a^n)=f(a)^n \subseteq G_2 \end{eqnarray*}$ zyklisch

05.11.2007, 22:48

therisen

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$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist zyklisch $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es gibt einen Epimorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\to G \end{eqnarray*}$ .

Die Komposition zweier Epimorphismen ist ein Epimorphismus.

05.11.2007, 22:53

Quiet Robert

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ähmm.....war das jetzt richtig oder falsch was ich gemacht hab?

Ich hab zumindestens gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f(a^n) = f(a)^n \end{eqnarray*}$ ist und das hattest du doch gesagt, oder nicht?

05.11.2007, 22:58

therisen

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Deine Beweise sind an Unstrukturiertheit nicht zu übertreffen. Die bloße Aneinanderreihung von Quantoren zeichnet keinen guten Mathematiker aus (vor allem dann nicht, wenn es unstrukturiert wirkt). $\begin{eqnarray*} f(G_1) \end{eqnarray*}$ ist genau dann zyklisch, wenn es ein Element $\begin{eqnarray*} y\in f(G_1) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f(G_1)=\langle y\rangle \end{eqnarray*}$ . Davon lese ich bei dir aber nichts.

05.11.2007, 23:11

Quiet Robert

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Zitat:

Original von Quiet Robert
Ich glaub ich hab was:
$\begin{eqnarray*} (a) = G_1 , f: G_1 \rightarrow G_2 \text{ Gruppenhomo } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a^n a^{-n}) = f(e_1) = e_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(a^n) f(a^{-n}) = e_2 = f(a)^n f(a)^{-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(a^n)=f(a)^n \subseteq G_2 \end{eqnarray*}$ zyklisch

das hab ich doch da schon fast geschrieben. Nur das ich vergessen hab, wenn ich x=a setzte mit y=f(x) zu schreiben:
$\begin{eqnarray*} f(x)^n = y^n \rightarrow \forall y \in f(G_1) : (y) = f(G_1) \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 23:15

therisen

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Zitat:

Original von Quiet Robert
$\begin{eqnarray*} f(x)^n = y^n \rightarrow \forall y \in f(G_1) : (y) = f(G_1) \end{eqnarray*}$

Ich hatte dich doch ermahnt, mit den Pfeilen aufzuhören. Jetzt hast du ein Beispiel, warum das gefährlich ist, denn die zitierte Aussage ist völliger Blödsinn. Du hast geschrieben, dass $\begin{eqnarray*} f(G_1) \end{eqnarray*}$ von jedem Element in $\begin{eqnarray*} f(G_1) \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

05.11.2007, 23:18

Quiet Robert

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hmm.....ich raff nix mehr.
Ich seh net so ganz was ich falsch machen soll!
Ich werd mich morgen nochmal dran setzten!

Servus

06.11.2007, 08:53

Dual Space

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Quiet Robert: Dein Defizit liegt (evtl.) gar nicht in der Algebra, sondern in deiner Faulheit mal ein paar Wörter zu verwenden und der daraus resultieren fehlerhaften Nutzung der Quantoren. Hast du schon mal ein Buch gelesen, in dem nur Formeln stehen?

06.11.2007, 13:51

Quiet Robert

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Da hast du wohl recht! Selbst in ner Mathematischen-Formelsammlung stehen ein paar geschriebene Sätze Big Laugh

!

Ich werd mich gleich direkt nochmal ran setzten und es mit ein paar Wörten probieren!

06.11.2007, 15:56

Quiet Robert

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So, jetzt versuche ich es mal mit ein bischen mehr Text.
Allerdings handelt es sich jetzt um eine andere Aufgabenstellung.
"Sei G eine zyklische Gruppe. Beweisen Sie, dass wenn $\begin{eqnarray*} |G| < \infty \end{eqnarray*}$ ist , so ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ isomorph zur additiven Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z _{|G|},+) \end{eqnarray*}$ "

Beweis:
$\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ ist erzeugendes Element, $\begin{eqnarray*} (x) = G \end{eqnarray*}$
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x^n)=y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=\{e_y,y^1,y^2,...,y^{|G|-1}\} \end{eqnarray*}$ ist somit ein Gruppenisomorphismus auf $\begin{eqnarray*} f : (G,\cdot) \rightarrow (\mathbb Z _{|G|},+) \end{eqnarray*}$

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