Doppelwinkelfunktionen

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05.11.2007, 16:43

neon]microstar

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Doppelwinkelfunktionen

Hab da ma ne Frage:
Warum ist
-
sin (2*alpha) = 2 * sin (alpha) * cos (alpha)
-
?

Kann mir das jemand erklären?

05.11.2007, 16:51

therisen

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Eine mögliche Erklärung findest du hier, wenn du dich ein wenig mit komplexen Zahlen auskennst.

05.11.2007, 19:46

riwe

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oder am einheitskreis:

1) $\begin{eqnarray*} \overline{OD}=cos\alpha \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \overline{ED}=\overline{CD}=sin\alpha \end{eqnarray*}$

daher gilt:

3) $\begin{eqnarray*} \overline{BD}=sin\alpha\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

4)wegen 1) und 2) $\begin{eqnarray*} \angle{ODC}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

5) $\begin{eqnarray*} \Delta{FEC}\sim\Delta{ODC} \end{eqnarray*}$
woraus folgt

$\begin{eqnarray*} \overline{AE}=2\cdot\overline{BD}=2\cdot sin\alpha\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 21:09

neon]microstar

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Re: Doppelwinkelfunktionen
Also der Einheitskreis hilft mir gut weiter. Jedoch verstehe ich Schritt 3 und 4 nicht ganz, und steht das Zeichen bei 4 für Winkel oder soll es ein Dreieck sein (evtl. nicht korrekt dargestellt). Könnte mir das noch mal jemand erläutern?
Vielen Dank schon mal für die wirklich ausgezeichnete Antwort Freude

!
@ therisen: sry, aber mit komplexen Zahlen kann ich noch nicht wirklich etwas anfangen...

05.11.2007, 22:13

riwe

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RE: Doppelwinkelfunktionen

Zitat:

Original von neon]microstar
Also der Einheitskreis hilft mir gut weiter. Jedoch verstehe ich Schritt 3 und 4 nicht ganz, und steht das Zeichen bei 4 für Winkel oder soll es ein Dreieck sein (evtl. nicht korrekt dargestellt). Könnte mir das noch mal jemand erläutern?
Vielen Dank schon mal für die wirklich ausgezeichnete Antwort Freude

!
@ therisen: sry, aber mit komplexen Zahlen kann ich noch nicht wirklich etwas anfangen...

da ist alles korrekt dargestellt,
was alllerdings bei mir eh an ein wunder grenzt unglücklich

zu 3) per definitionem $\begin{eqnarray*} sin\alpha=\frac{gegenkathete}{hypothenuse}=\frac{\overline{BD}}{\overline{DO}}\to sin\alpha=\frac{\overline{BD}}{cos\alpha}\to \overline{BD}=sin\alpha\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

zu 4) das zeichen $\begin{eqnarray*} \angle \end{eqnarray*}$ bedeutet WINKEL, das zeichen $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ dreieck,
dass es sich um einen (rechten) winkel handelt, geht auch aus dem wert hervor Big Laugh

dieser schritt ist notwendig, um die ähnlichkeit der beiden dreiecke unter 5) nachzuweisen.
der rechte winkel folgt aus

$\begin{eqnarray*} sin²\alpha+ cos²\alpha=1 \end{eqnarray*}$

oder einfacher:
$\begin{eqnarray*} \overline{DO} \end{eqnarray*}$ ist die höhe auf die basis des gleichschenkeligen dreieecks $\begin{eqnarray*} \Delta{COE} \end{eqnarray*}$

nun verwirrt

05.11.2007, 22:29

neon]microstar

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Sehr schön! Alles verstanden Augenzwinkern

06.11.2007, 11:46

riwe

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noch einfacher geht es so:

am einheitskreis:
$\begin{eqnarray*} \overline{OC}=cos\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{CE}=sin\beta \end{eqnarray*}$

und es gilt $\begin{eqnarray*} \angle{DEC}=\alpha \end{eqnarray*}$ (normalwinkel)

daher hat man

$\begin{eqnarray*} \overline{BC}=sin\alpha\cdot cos\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{DE}=cos\alpha\cdot sin\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{AE}=\overline{BC}+\overline{DE} \end{eqnarray*}$ qued

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