Kugeln und Kegeln einschreiben

14.04.2005, 21:07

donkarabelas

Kugeln und Kegeln einschreiben

Also hab hier ein komplexes Problem, ich hoffe jemand kann mir dabei helfen:

In eine Kugel mit gegebenem Radius R soll der Volumsgrößte Kegel eingeschrieben werden. In das unten freibleibende Kugelsegment soll wiederum eine Kugel eingeschrieben werden, in diese Kugel wieder der Volumsgrößte Kegel, usw.
Frage a)

Berechne die Summe aller Kegelvolumina

Frage b)

Berechne das Verhältniss der Summen von Kugelvolumina und Kegelvolumina.

Kann mir hierbei irgendjemand helfen

gr33tz elias

14.04.2005, 21:39

Frooke

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Zitat:

In eine Kugel mit gegebenem Radius R soll der Volumsgrößte Kegel eingeschrieben werden. In das unten freibleibende Kugelsegment soll wiederum eine Kugel eingeschrieben werden, in diese Kugel wieder der Volumsgrößte Kegel, usw.
Frage a)

Berechne die Summe aller Kegelvolumina

Du hast zwei Gleichungen:
I $\begin{eqnarray*} V_{Kegel}=\frac{\pi}{3}r_{Kegel}^2h_{Kegel} \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} r_{Kugel}^2-r_{Kegel}^2=(h_{Kegel}-r_{Kugel})^2 \end{eqnarray*}$

Um II zu verstehen machst Du Dir am besten eine Zeichnung des Querschnitts der Kugel!

Mit I und II kannst Du nun ausrechnen, die der Kegel aussehen muss. Mach das doch am besten mal, dann sehen wir weiter - ich überleg mal weiter... Idee!

EDIT: 2 · Latexverbesserungen

14.04.2005, 21:47

N8schichtler

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RE: Kugeln und Kegeln einschreiben
Schöne Aufgabe, ist auch nicht all zu schwer, wenn du das Problem vereinfachst.
Nutze dafür alle Rotationssymmetrieen aus.

14.04.2005, 21:56

donkarabelas

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die da zb wären?

14.04.2005, 21:58

Frooke

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Für das maximale Kegelvolumen kriege ich
$\begin{eqnarray*} h_{Kegel}=\frac{4}{3}r_{Kugel} \end{eqnarray*}$
Kriegt ihr dasselbe?

@N8schichtler:
Bist Du sicher, dass da solche Symmetrien von Bedeutung sind? Ich dachte, das sei nur sinnvoll, wenn man die nächste Kugel in den Kegel hineinschreiben würde, aber sie wird ja in das unten freibleibende Kugelsegment eingefügt...

14.04.2005, 22:03

donkarabelas

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des ergebniss hab ich auch *stolzbin*

14.04.2005, 22:08

N8schichtler

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Eine Symmetrie ist die Rotation um die z-Achse - darum reicht es, den Querschnitt zu berechnen, eine andere die Rotationssymmetrie dieser Kugel - da man auch den Kegel dreht, muss er wieder zur Überlagerung kommen: also ist der Kegelquerschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

14.04.2005, 22:12

donkarabelas

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also für die summe der Kegelvolumina bekomm ich folgendes

$\begin{eqnarray*} V_{\infty}=\frac{256r^{3}\pi}{567} \end{eqnarray*}$

das sieht mir aber sehr falsch aus

15.04.2005, 10:56

Frooke

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Zitat:

Original von N8schichtler
Eine Symmetrie ist die Rotation um die z-Achse - darum reicht es, den Querschnitt zu berechnen, eine andere die Rotationssymmetrie dieser Kugel - da man auch den Kegel dreht, muss er wieder zur Überlagerung kommen: also ist der Kegelquerschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

Ja stimmt: Eigentlich kann man das Problem auf 2 Dimensionen reduzieren und in der Endrechnung die dritte Dimension wieder «verpacken». Sher gut bemerkt N8schichtler! Freude

Zitat:

Original von donkarabelasr
also für die summe der Kegelvolumina bekomm ich folgendes

Das ist ja eine geometrische Summe deren unendliche Summe so aussieht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}s_n=\frac{a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ haben wir ja und was hast Du für ein q raus?

EDIT: Kannst Du mal deinen ganzen Lösungsweg posten?

Nur so, für $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ kriege ich Folgendes:

$\begin{eqnarray*} a_1=V(\frac{4r_{Kugel}}{3})=\frac{\pi}{3}(2(\frac{4r_{Kugel}}{3})^2r_{Kugel}-(\frac{4r_{Kugel}}{3})^3=\frac{32\pi r_{Kugel}^3}{81} \end{eqnarray*}$

Hast Du da dasselbe?

1546. Edit: Zum Teufel

mit meinen Latexfehlern. (Da sind dann bestimmt noch Rechenfehler drin... Hammer

)

15.04.2005, 13:52

riwe

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mit pythagoras erhält man
$\begin{eqnarray*} r^{2}=h(2R-h) \end{eqnarray*}$
und damit das ergebnis von frooke
$\begin{eqnarray*} V=\frac{32\pi R^{3}}{81} \end{eqnarray*}$
und für den neuen kugelradius aus
$\begin{eqnarray*} R^\prime=2R-h=\frac{R}{3} \Rightarrow q=1/3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} q_{volumen}=1/9\Rightarrow V_{\infty}= \frac{4}{9} \pi R^{3} \end{eqnarray*}$
ohne gewähr
w2w

15.04.2005, 15:53

Frooke

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Zitat:

Original von wernerrin
mit pythagoras erhält man
$\begin{eqnarray*} r^{2}=h(2R-h) \end{eqnarray*}$
und damit das ergebnis von frooke
$\begin{eqnarray*} V=\frac{32\pi R^{3}}{81} \end{eqnarray*}$
und für den neuen kugelradius aus
$\begin{eqnarray*} R^\prime=2R-h=\frac{R}{3} \Rightarrow q=1/3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} q_{volumen}=1/9\Rightarrow V_{\infty}= \frac{4}{9} \pi R^{3} \end{eqnarray*}$
ohne gewähr
w2w

EDIT: Sorry, hab da was anderes: Gute Zeichnung, werner Freude

! aber ich krieg für q was anderes. Du musst ja von der Kegelhöhe auf die neue Kegelhöhe schliessen... Ich krieg da aber 1/4, denn

$\begin{eqnarray*} 2R-h=2r_{kleine Kugel} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}=r_{kleine Kugel} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_{kleine Kugel}\cdot\frac{3}{4}=h_{neuer Kegel} \end{eqnarray*}$

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