vollständige induktion - beweis einer ungleichung

05.11.2007, 22:41	ben	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige induktion - beweis einer ungleichung für natürliche n (ohne 0) ist zu beweisen: $\begin{eqnarray} (1+1/n)^{n} \leq \sum_{k=0}^n~(1/k!) \end{eqnarray}$ erst habe ich den induktionsschritt n auf n+1 gemacht und so meine behauptung aufgestellt durch umstellen des linken terms komm ich mittels gleichung für binomialkoeffizienten und binomischem satz auf: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1}~(n+1)!/(k!(n+1-k)!)* (1/(n+1))^(n+1-k) \end{eqnarray}$ so, und jetzt muß ich doch zeigen (um die behauptung zu beweisen), dass dieser term kleiner/gleich $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1}~{1/k!} \end{eqnarray*}$ ist,oder? vielleicht kann mir jemand weiterhelfen-wäre schön! danke...
05.11.2007, 22:58	ben	Auf diesen Beitrag antworten »
zumindest habe ich dann die summenzeichen weggelassen, weil die anzahl der summanden (k=0 bis n+1) sowieso gleich groß ist, und hab dann die terme als solche verglichen! ich komm dann immer darauf, dass 1/k! $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ das andere ist.. ich weiß nicht wo der fehler ist, aber hab ich das vielleicht zu umständlich gemacht oder ist dabei was falsch? -ungeübter ersti-
05.11.2007, 23:14	ben	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, der grenzwert ist anscheinend auf beiden seiten die eulersche zahl...aber keine ahnung ob das hilft
05.11.2007, 23:49	peter bowzown	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke - ich habs jetzt glaube ich ich kann ja einfach für k=1 einsetzen, weil die ungleichung wie gesagt von der anzahl der summanden unabhängig ist und n größer gleich 1 ist! das geht doch so, oder? ben
06.11.2007, 20:46	ben	Auf diesen Beitrag antworten »
geht doch nicht..ich muß es für alle k zeigen... anscheinend hat bis heute sonst auch keiner eine idee!?
07.11.2007, 08:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Muß das mit vollständiger Induktion gezeigt werden? Ich würde einen direkten Ansatz wählen: Mit dem binomischen Satz gilt: $\begin{eqnarray} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n~{n\choose k} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ Durch eine geeignete Abschätzung erhält man die rechte Seite der Ungleichung.
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07.11.2007, 18:43	peter bowzown	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, danke! hab das allerdings heute schon abgegeben und bin mit kommilitonen auch letztendlich darauf gekommen es ohne v.ind. zu machen! also alles klar soweit

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