Quadratische Pyramide und Ebene

14.04.2005, 21:08

SkYfiGhTeR

Quadratische Pyramide und Ebene

Hallo!

Es geht um Folgendes:

Gegeben seien die Punkte A (0|0|0), B (8|0|0), C (8|8|0), D (0|8|0) und S (4|4|8), die Eckpunkte einer quadratischen Pyramide mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S sind.

Als erstes sollte das Ganze in einem kartesischen Koordinatensystem gezeichnet werden, also ein Schrägbild der Pyramide und das hat auch einwandfrei geklappt.

So:

Eine Gerade g schneidet die z-Achse bei z=12 und geht durch die Spitze S der Pyramide. Wo schneidet diese Gerade g die x-y - Ebene?

Ich habe nun auf drei verschiedene Wegen das probiert zu errechnen und bekomme immer wieder den Schnittpunkt (-6|-6|0) raus, nur das kann leider nicht sein. Ich hab's mal gezeichnet und wenn ich ma da nicht vertan habe, müsste (13|13|0) oder etwas in der Richtung rauskommen.

Ich bin so vorgegangen:

Die Gerade geht ja durch z=12 und den Punkt S, also kann ich eine Geradengleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} g: \vec {x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann soll es durch die x-y - Ebene gehen und dazu habe ich mal das aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} E (x, y): \vec {x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also mit (A) + r*(AB) + s*(AC).

Dann bekomme ich aus dieser Ebenengleichung ja:

x=8r+8s
y=8s
z=0

Aus meiner Geradengleichung bekomme ich für z=12+8t.

Also: 12+8t=0 => t=-1,5

Und das dann eingesetzt in die Geradengleichung bringt mir die Koordinaten (-6|-6|0).

Ich habe auch mal Ebenengleichung und Geradengleichung direkt gleichgestzt und bekomme auch diesen Punkt raus. Was mache ich denn da noch falsch?

Danke im Voraus!

14.04.2005, 21:12

SilverBullet

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gerade stimmt nicht
Hi deine Geradengleichung stimmt nicht ganz...

Die gerade geht zwar durch die Punkte (0/0/12) und S aber du musst von deinem Ortsvektor nur in Richtung von S gehen.

Die gerade sieht dann so aus :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.04.2005, 21:17

SkYfiGhTeR

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Hi,

aaarghh...ja stimmt da hast du natürlich vollkommen Recht - völlig übersehen bzw. zu schnell gemacht da beim Aufstellen. Ok, dann mach ich das jetzt nochmal damit...melde mich dann nochmal ob's nun stimmt. *g*

Dankeschön..

14.04.2005, 21:23

SilverBullet

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ps :
Kannst die X-Y Ebene auch einfach so aufstellen :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schneidest du diese dann, so kommt nicht ganz dein Ergebniss von oben raus sondern (12/12/0)

14.04.2005, 22:59

kikira

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RE: ps :

Zitat:

Original von SilverBullet
Kannst die X-Y Ebene auch einfach so aufstellen :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schneidest du diese dann, so kommt nicht ganz dein Ergebniss von oben raus sondern (12/12/0)

Das ist keine Ebenengleichung. Versuch mal, einen beliebigen Punkt zu berechnen, denn dazu ist ja die Ebenengleichung da.

lg kiki

14.04.2005, 23:07

SkYfiGhTeR

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Hi,

das "Ergebnis" vom 1. Posting war auch zeichnerisch, da habe ich mich wohl vermessen oder verzeichnet. Ich habe jetzt auf "meine Methode" die ich auch im 1. Posting angewandt habe, ebenfalls den (12/12/0) raus.

Also so:

$\begin{eqnarray*} g: \vec {x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

x=4t
y=4t
z=12-4t

$\begin{eqnarray*} E (x,y): \vec {x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

x=8r+8s
y=8s
z=0

Und dann das z aus der Geradengleichung und das aus der Ebenengleichung:

12-4t=0
-4t=-12
t=3

t=3 in Geradengleichung g: (12/12/0)

Danke nochmal. Augenzwinkern

14.04.2005, 23:15

kikira

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Deine Richtungsvektoren kannst du alle durchkürzen. Bei uns gäbe das Punkteabzug, wenn man nicht auf die einfachste Form bringt.

lg kiki

14.04.2005, 23:33

riwe

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viel einfacher xy-ebene: z = 0
w2w

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