Hesse-Matrix

05.11.2007, 23:23

Kira 007

Hesse-Matrix

Hallo und guten Abend

ich habe mal eine Verständnissfrage zur Hesse-Matrix. Die Werte die ich bei der Hesse-Matrix ermittel sind das x oder y Werte. Ein Extrempunkt hat doch normalerweise immer zwei Werte. Wenn ich beispielsweise bei der Hessematrix 16 ermittelt habe wie bekomme ich dann den anderen dazu passenden Wert.

Muss ich den in die Ausgangsfunktion einsetzten ?

$\begin{eqnarray*} K(x;y)=2x^3+2y^2-4xy+10 \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 23:26

kiste

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"Wenn ich beispielsweise bei der Hessematrix 16 ermittelt habe"
Was hast du gemacht? 16 ist eine Zahl keine Matrix.
Keine Ahnung wie du da "Werte ermittelst".

Stelle doch einmal von deiner Funktion die Hessematrix auf und frag dann konkret.

06.11.2007, 07:46

Kira 007

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Also ich habe folgende Aufgabe

Die Produktion eines Unternehmens weist die folgende Kostenstruktur auf:
$\begin{eqnarray*} K(x;y)=2x^3+2y^2-4xy+10 \end{eqnarray*}$
Ermittel mittels Hesse matrix die Minimalkostenkombination. Und die Höhe der kosten an dieser Stelle.

Die minimalkostenkombination müsste doch aus den beiden Minimum Stellen der Funktion bestehen. Hier mal die Hesse-matrix dazu:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 4 & \\ -4 & -4 & \\ & & \end{vmatrix}=16>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 18 & -4 & \\ -4 & 4 & \\ & & \end{vmatrix}=56>0 \end{eqnarray*}$

wie ermittel ich jetzt abe die Höhe der Kosten an dieser stelle

06.11.2007, 13:03

kiste

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Die rechte untere Komponente der Hessematrix sollte
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 K(x,y)}{\partial y^2} \end{eqnarray*}$ sein, was immer 4 ist. Wie du also beim ersten auf die -4 dort kommst ist mir schleierhaft.
Unterscheide auch genau zwischen Hessematrix und Determinante der Hessematrix!

Ich empfehle dir also einmal genau alle Rechenschritte einzustellen, insbesondere die allgemeine Hessematrix wo noch keine Werte eingesetzt wurde und auch die Berechnung der kritischen Stellen.

06.11.2007, 16:30

Kira 007

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die minus 4 müsste aber richtig sein.

wenn ich $\begin{eqnarray*} K(x;y)=2x^3+2y^2-4xy+10 \end{eqnarray*}$ partiell ableite erhalte ich doch

$\begin{eqnarray*} K'x=6x^2-4y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K''xx=12x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K''xy=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K'y=4y-4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K''yy=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Kyx''=-4 \end{eqnarray*}$

Notwendige Bedingung

$\begin{eqnarray*} K'x=6x^2-4y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x+4y \end{eqnarray*}$

_______________________

$\begin{eqnarray*} 6x^2-4x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(6x-4)=0/:x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x-4=0/-6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4=-6x/(-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1,5) \end{eqnarray*}$

Die Funktionswerte an denen Extremwerte liegen können sind somit (0;0) und (1,5;1,5)

die Hesse-matrix lautet

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} f''xx & f''xy & \\ f''yx & f''yy & \\ & & \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

06.11.2007, 22:17

Kira 007

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soweit habe ich die azufgabe schon berechnet, jetzt komme ich irgendwie nicht weiter da ich nicht genau weiß wie ich die Höhe der kosten an der Stelle der minimalkostenkombination berechnen soll.

06.11.2007, 23:11

kiste

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Zitat:

Original von Kira 007
die minus 4 müsste aber richtig sein.

Du hast doch selbst gesagt die Hesse-matrix lautet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f''xx & f''xy & \\ f''yx & f''yy & \\ & & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f_{yy} = 4 \end{eqnarray*}$ ist. Also ist eine -4 unten rechts gar nicht möglich da es dort immer konstant 4 ist!

Notwendige Bedingung:

$\begin{eqnarray*} 6x^2-4y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x+4y=0 \end{eqnarray*}$

Das = 0 darfst du nicht vergessen
_______________________

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 6x^2-4x=0 \end{eqnarray*}$

Nein falsch das muss heißen -4y nicht -4x.

Zitat:

Die Funktionswerte an denen Extremwerte liegen können sind somit (0;0) und (1,5;1,5)

(0,0) stimmt der andere Wert ist dementsprechend falsch.

Die Kosten an der Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ berechnest du einfach in dem du die Funktion dort berechnest also $\begin{eqnarray*} K(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ .

Aber da kann ich mich natürlich auch irren, ihr BWLer... ach egal lassen wir das Big Laugh

07.11.2007, 20:21

Kira 007

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Notwendige Bedingung:

$\begin{eqnarray*} 6x^2-4y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x+4y=0 \end{eqnarray*}$

Das = 0 darfst du nicht vergessen
_______________________

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 6x^2-4x=0 \end{eqnarray*}$

Nein falsch das muss heißen -4y nicht -4x.

Natürlich muss es dort $\begin{eqnarray*} 6x^2-4x \end{eqnarray*}$ heissen, ich addiere doch die beiden Gleichungen. (Additionsmethode) demnach müssen auch die Werte (1,5;1,59 korrekt sein.

habe den fehler doch noch entdeckt, mlede mich noch wegen der Lösung

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