Beweis

06.11.2007, 12:46

sofiee

Beweis

Hallo,
ich versuche die folgende Aufgabe zu lösen:
Sei K ein Körper und sei U ein Unterraum eines endlichdimensionalen K-Vektorraums V. Sei dim(V) =< dim (V)-1.
Beweisen Sie, dass es einen Unterraum W von V gibt, so dass U ein Unterraum von W ist und so, dass U ungleich W ungleich V gilt.

ich hab zwar einen Ansatz, habe aber das Problem ein W zu konstruieren!!!

ich schreibe mal kurz meinen Ansatz auf:

Es gilt: dim (U) =< dim (V)-1
daraus folgt, dim (V) größer oder gleich 2, da dim (U) nicht negativ sein darf!
Sei W ein Unterraum von V mit V ungleich W, so gilt nach der Dimensionsformel für die Unterräume: dim(W) - dim(V)
es gilt auch: dim (W) =< dim (V) -1
wenn U ein Unterraum von W mit U ungleich W ist, dann ist U ein echter Unterraum von W und es gilt: dim (U) < dim (W)

aber was ist, wenn W kein Unterraum von U ist?????

06.11.2007, 13:09

kiste

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"Sei dim(V) =< dim (V)-1"
aha verwirrt

Ok also du hast $\begin{eqnarray*} \dim U \leq \dim V - 1 \end{eqnarray*}$ .
Ich behaupte jetzt einfach einmal die Aussage ist falsch wenn $\begin{eqnarray*} \dim U = \dim V - 1 \end{eqnarray*}$ .
Die Konstruktion würde ja über den Basisergänzungssatz laufen und das schlägt da meiner Meinung nach fehl.

06.11.2007, 14:11

sofiee

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ups... da ist mir wirklich ein fehler unterlaufen. aber das gleich muss da weg nicht das kleiner zeichen!

dim(U) < dim (V) -1

06.11.2007, 19:47

sofiee

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keiner ne idee dazu?

06.11.2007, 19:55

WebFritzi

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Sei n := dim(V). Dann ist also dim(U) <= n - 2. Wähle eine Basis

$\begin{eqnarray*} \{v_1,\dots,v_m\} \end{eqnarray*}$

von U. Es ist m <= n - 2. Wende nun den Basisergänzungssatz an.

06.11.2007, 21:15

sofiee

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hmmm?
es ist doch dim(U)< dim (V) -1

wenn n:= dim (V) ist, dann gilt doch:

dim(U) < n-1 oder nicht?

06.11.2007, 21:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von sofiee
wenn n:= dim (V) ist, dann gilt doch:

dim(U) < n-1 oder nicht?

Ja, genau. Also $\begin{eqnarray*} \dim(U) \le n - 2. \end{eqnarray*}$

07.11.2007, 05:45

sofiee

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$\begin{eqnarray*} dim(V) := n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(U) < dim(V)-1 \end{eqnarray*}$ daraus folgt
$\begin{eqnarray*} dim(U) \leq n-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(W) \leq n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(W)=< n-1 \end{eqnarray*}$ -> damit W und V nicht gleich sind
da $\begin{eqnarray*} dim(W) < dim(V) \end{eqnarray*}$ ist W ein Unterraum von V und
W ungleich V
da $\begin{eqnarray*} dim(U) < dim(W) \end{eqnarray*}$ , ist U ein Unterraum von W und U ungleich W
es folgt:
U ist eine Uterraum von W ist ein Unterraum von V
U undgleich W ungleich V

ist das so richtig????

07.11.2007, 22:15

sofiee

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ich komme nicht mehr weiter

07.11.2007, 22:43

kiste

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Die Existenz von W ist zu zeigen, da kannst du nicht einfach bel. damit rumrechnen.
Jetzt hat sowohl WebFritzi als auch ich den Basisergänzungssatz erwähnt. Das würde mir zu denken geben das es damit ja funktionieren könnte Augenzwinkern

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