Komplexe Zahlen

06.11.2007, 14:58

Buef

Komplexe Zahlen

Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray*} z,w \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ komplexe Zahlen. Wir schreiben $\begin{eqnarray*} z < w \end{eqnarray*}$ falls entweder $\begin{eqnarray*} Re(z)<Re(w) \text{ oder } Re(z)=Re(w) \text{ und } Im(z)<Im(w) \end{eqnarray*}$ gilt. Indem wir $\begin{eqnarray*} z \leq w \end{eqnarray*}$ setzen, falls $\begin{eqnarray*} z=w \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z<w \end{eqnarray*}$ ist, erhalten wir eine Relation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ eine Ordnung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist, welche dem Ordnungsasxiom $\begin{eqnarray*} (O1) \end{eqnarray*}$ genügt.

Also ich weiß nicht so wirklich wie ich da dran gehen soll. Also wo auf jeden Fall ein etwas unklar ist, dass man ja in den Komplexen Zahlen nicht wirklich sagen kann, was jetzt größer und was jetzt kleiner ist,da ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ja kein geordneter Körper ist, oder? denn $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ . Schätze man muss das mit Gegenbeispiel machen oder vertue ich mich da?

06.11.2007, 15:08

20_Cent

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Nein, O1 wird anscheinend erfüllt, und das sollst du zeigen.
Widersprüche dürftest du für O2-O... bekommen.
mfG 20

06.11.2007, 15:33

WebFritzi

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Erstens ist das eindeutig Algebra, und zweitens solltest du mehrere antworten erhalten, wenn du mal hinschreibst, was (O1) eigentlich ist.

06.11.2007, 15:49

Buef

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also in der Vorlesung hatten wir bis jetzt sowas gar nicht...hmm hab auch in Büchern nachgeschaut und ich finde nur das zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ordnungsaxiom: Für $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<c \end{eqnarray*}$ dann folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} a<c \end{eqnarray*}$

@WebFritzi: Also die Aufgabe wurde in Analysis gestellt

Also zz ist

$\begin{eqnarray*} Re(z)<Re(w) \vee Re(z)=Re(w) \Rightarrow Im(z) \leq Im(w) \end{eqnarray*}$

hmm da muss es ja irgendwas geben, was re und im miteinander verbindet.

Ich weiß nur dass: $\begin{eqnarray*} Re+iIm =\mathbb{C} \end{eqnarray*}$

ist doch so. aber wie ich jetzt weiterkomme, weiß ich noch nicht so richtig...

06.11.2007, 16:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von Buef
@WebFritzi: Also die Aufgabe wurde in Analysis gestellt

OK. Das ist trotzdem Algebra.

Zitat:

Original von Buef
Also zz ist

$\begin{eqnarray*} Re(z)<Re(w) \vee Re(z)=Re(w) \Rightarrow Im(z) \leq Im(w) \end{eqnarray*}$

Ne, wie kommste darauf?

06.11.2007, 17:07

Buef

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Wenn $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<c \end{eqnarray*}$ dann folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} a<c \end{eqnarray*}$

hab das damit dann einfach drauf angewendet

hmm was wäre dann das richtige?

06.11.2007, 17:41

WebFritzi

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Für komplexe Zahlen a und b wurde definiert:

$\begin{eqnarray*} a < b :\Longleftrightarrow \big( {\rm Re}(a) < {\rm Re}(b) \big) \vee \Big( \big( {\rm Re}(a) = {\rm Re}(b)\big) \wedge \big( {\rm Im}(a) < {\rm Im}(b)\big)\Big) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} a \le b :\Longleftrightarrow a = b \vee a < b. \end{eqnarray*}$

Und du musst jetzt zeigen

$\begin{eqnarray*} (z\le w) \wedge (w\le \zeta) \Rightarrow z\le \zeta. \end{eqnarray*}$

08.11.2007, 21:07

Buef

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wir müssen zugeben. wir können damit leider nicht wirklich was anfangen.

kannst du uns vielleicht verraten,wie wir das beweisen sollen?
also zuerst die eine richtung, dann die andere

was wir uns auch gefragt haben wie man auf die form kommt

$\begin{eqnarray*} \Big( \big( {\rm Re}(a) = {\rm Re}(b)\big) \wedge \big( {\rm Im}(a) < {\rm}{\rm Im}(b) \Big) \end{eqnarray*}$

und warum nicht sowas auch da stehen kann,oder kann es sogar?

$\begin{eqnarray*} \Big( \big( {\rm Im}(a) = {\rm Im}(b)\big) \wedge \big( {\rm Re}(a) < {\rm} {\rm Re}(b) \Big) \end{eqnarray*}$

haben uns das so gedacht

eine komplexe zahl besteht immer aus einem realteil und einem imaginärteil. aber wenn der realteil von a kleiner ist als der realteil von b, kann doch der imaginärteil von a um so viel größer sein als der imaginärteil von b, dass a größer b ist oder?

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