Beweis von Ungleichung

06.11.2007, 16:58

U-Gen

Beweis von Ungleichung

Zeigen Sie: für je n reelle Zahlen a1, a2, ...., an gelten die Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} \mid a1 \mid - \sum_{i=2}^n~\mid ai \mid \leq \mid \sum_{i=1}^n~ai \mid \leq \sum_{i=1}^n~\mid ai \mid \end{eqnarray*}$

Ich hab keinen Startpunkt, nen kleiner Rat wäre nicht schlecht.

Vielen dank

06.11.2007, 17:00

WebFritzi

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Das ist eine einfache Folgerung aus der Dreiecksungleichung.

06.11.2007, 17:20

U-Gen

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mmh irgendwie komm ich immer noch net weiter ... die summenzeichen stören mich ...

06.11.2007, 17:23

WebFritzi

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Versuch dich doch zuerst mal an

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|. \end{eqnarray*}$

Das kannst du z.B. mit vollst. Induktion nach n beweisen.

06.11.2007, 17:40

U-Gen

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Zu zeigen : $\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i| \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: n = 1

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^1 a_i\right| = \left|1\right| = 1 \leq 1 = \left|1\right| = \sum_{i=1}^n |a_i| \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: n -> n + 1

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^x a_i\right| \le \sum_{i=1}^x |a_i| \end{eqnarray*}$

x = n+1

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^n a_i\right| + |n+1| \le \sum_{i=1}^n |a_i| + |n+1| \end{eqnarray*}$

jetzt wüsste ich aber auch net mehr wie ich weiter rechnen soll ...

06.11.2007, 17:44

WebFritzi

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Das Prinzip ist richtig, aber du hast Quatsch geschrieben. Schau's dir nochmal genau an. Wieso sollten alle a_i = 1 sein???

06.11.2007, 17:51

U-Gen

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Zu zeigen : $\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i| \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: n = 1

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^1 a_i\right| = \left|a_1\right| = a_1 \leq a_1 = \left|a_1\right| = \sum_{i=1}^n |a_i| \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: n -> n + 1

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^x a_i\right| \le \sum_{i=1}^x |a_i| \end{eqnarray*}$

x = n+1

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^n a_i\right| + |a_n+a_1| \le \sum_{i=1}^n |a_i| + |a_n+a_1| \end{eqnarray*}$

dann müsste es so sein ... bringt mich dennoch net weiter verwirrt

06.11.2007, 17:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von U-Gen
$\begin{eqnarray*} \left|a_1\right| = a_1 \end{eqnarray*}$

Falsch.

Zitat:

Original von U-Gen
$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^x a_i\right| \le \sum_{i=1}^x |a_i| \end{eqnarray*}$

x = n+1

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^n a_i\right| + |a_n+a_1| \le \sum_{i=1}^n |a_i| + |a_n+a_1| \end{eqnarray*}$

Wozu machst du sowas? Das hat doch keinen Sinn. Weißt du überhaupt, wie eine vollst. Induktion geht? Du hast

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i| \end{eqnarray*}$

und willst

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right| \le \sum_{i=1}^{n+1} |a_i| \end{eqnarray*}$

zeigen. Nun versuche es nochmal. Aber bitte mit Bedacht.

06.11.2007, 18:08

U-Gen

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von U-Gen
$\begin{eqnarray*} \left|a_1\right| = a_1 \end{eqnarray*}$

Falsch.

dat versteh ich scho mal gar net ... wenn ich |1| hab dann ist es ja auch 1 genauso wie |-1| = 1 .. sind ja betragsstriche

06.11.2007, 18:16

WebFritzi

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Was ist denn, wenn $\begin{eqnarray*} a_1 = -5, \end{eqnarray*}$ hm?

06.11.2007, 18:23

U-Gen

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... hab ich gerade auch verstanden .... ahhh dat macht mich echt fertig

ich probier es nochmal ...

06.11.2007, 19:11

U-Gen

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jetzt hab ich es glaub ich ....

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right| \le \sum_{i=1}^{n+1} |a_i| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^{n} a_i\right| + |a_{n+1}| \le \sum_{i=1}^{n} |a_i| + |a_{n+1}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n| + |a_{n+1}| \leq |a_1| + |a_2| + |a_3| + ... + |a_n| + |a_{n+1}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + |a_3| + ... + |a_n| \end{eqnarray*}$

damit hab ich die dreiecksungleichung erreicht ... aber ich weiss net wie ich weiter machen soll ... vorausgesetzt es is richtig so wie ich dat diesmal gemacht hab ....

06.11.2007, 19:30

WebFritzi

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Man man man...

Zitat:

Original von U-Gen
$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right| \le \sum_{i=1}^{n+1} |a_i| \end{eqnarray*}$

Das sollst du zeigen. Ist dir das bewusst? Also:

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right| = \left|\sum_{i=1}^n a_i + a_{n+1}\right| \le \left|\sum_{i=1}^n a_i\right| + |a_{n+1}| \le \dots \end{eqnarray*}$

Jetzt weitermachen, und die Induktionsvoraussetzung anwenden. Was ist hier die Induktionsvoraussetzung?

06.11.2007, 19:42

U-Gen

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dat is die voraussetzung

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right| = \left|\sum_{i=1}^n a_i + a_{n+1}\right| \le \left|\sum_{i=1}^n a_i\right| + |a_{n+1}| \le \sum_{i=1}^n |a_i| + |a_{n+1}| \end{eqnarray*}$

induktion kann ich .. jedoch hab ich es nie mit 2 summen gemacht un dann noch >= zeichen ....

06.11.2007, 19:52

WebFritzi

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Und? Bist du jetzt fertig, oder fehlt noch etwas?

06.11.2007, 19:58

U-Gen

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die andere seite, sprich $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1} |a_i| = \sum_{i=1}^{n} |a_i| + |a_{n+1}| \end{eqnarray*}$ ist ja gleich dem induktionsschritt ... aber wie ich scho meinte, da ich das noch nie gemacht hab kann ich auch net sagen, obs jetzt scho fertig is oder nicht !!!!!!!!!!!

06.11.2007, 20:03

WebFritzi

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Natürlich bist du fertig, denn du hast doch

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=1}^{n+1} a_i\right| = \left|\sum_{i=1}^n a_i + a_{n+1}\right| \le \left|\sum_{i=1}^n a_i\right| + |a_{n+1}| \le \sum_{i=1}^n |a_i| + |a_{n+1}| = \sum_{i=1}^{n+1} |a_i|. \end{eqnarray*}$

Ich behaupte allerdings mal, dass, wenn du das Prinzip der Induktion tatsächlich verstanden hättest, du auch gewusst hättest (und nicht nur vermutet), dass du fertig bist.

06.11.2007, 20:16

U-Gen

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danke ... jetzt wird mir dat klar mit induktion und summen ... jedoch war ja nicht die aufgabenstellung dass ich die zwei summen beweise

ich würde jetzt beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} |a_1| - \sum_{i=2}^n~|a_i| \leq \sum_{i=1}^n~|a_i| \end{eqnarray*}$

ist.

dies würd ich alles ausschreiben,

$\begin{eqnarray*} |a_1| - |a_2| + |a_3| + ... + |a_n| \leq |a_1| + |a_2| + |a_3| + ... + |a_n| \end{eqnarray*}$

und dann solange subtrahieren bis ich

$\begin{eqnarray*} - |a_2| \leq |a_2| \end{eqnarray*}$

stehen hätte

06.11.2007, 20:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von U-Gen
ich würde jetzt beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} |a_1| - \sum_{i=2}^n~|a_i| \leq \sum_{i=1}^n~|a_i| \end{eqnarray*}$

ist.

Und was hast du dann davon? Wie gesagt: denke lieber nach, bevor du losrechnest.

06.11.2007, 21:05

U-Gen

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06.11.2007, 21:22

WebFritzi

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Ja, insbesondere die erste. Die zweite haste ja schon. Dein Ansatz von oben bringt dir da aber nichts.

06.11.2007, 21:38

U-Gen

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Induktionsanfang: n = 2

$\begin{eqnarray*} |a_1| - \sum_{i=2}^n~|a_i| = |a_1| - |a_2| \leq \sum_{i=1}^n~|a_i| = |a_1| + |a_2| \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt : n -> n+1
$\begin{eqnarray*} |a_1| - \sum_{i=2}^{n+1}~|a_i| \leq |a_1| - \sum_{i=2}^{n}~|a_i| + |a_{n+1}| \leq \sum_{i=1}^n~|a_i| + |a_{n+1}| = \sum_{i=1}^n~|a_i| \end{eqnarray*}$

ist das denn jetzt richtig ?!

06.11.2007, 21:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von U-Gen
Induktionsschritt : n -> n+1
$\begin{eqnarray*} |a_1| - \sum_{i=2}^{n+1}~|a_i| \leq |a_1| - \sum_{i=2}^{n}~|a_i| + |a_{n+1}| \leq \sum_{i=1}^n~|a_i| + |a_{n+1}| = \sum_{i=1}^n~|a_i| \end{eqnarray*}$

Erstens ist das grottenfalsch, und zweitens hatte ich dir bereits gesagt, dass das nicht das ist, was du zeigen sollst. Du sollst zeigen:

$\begin{eqnarray*} |a_1| - \sum_{i=2}^{n}~|a_i| \le \left| \sum_{i=1}^{n} a_i \right|. \end{eqnarray*}$

Und dazu brauchst du auch keine Induktion. Verwende

$\begin{eqnarray*} a_1 = \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=2}^{n} a_i. \end{eqnarray*}$

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