Komplexe Extremwertaufgabe

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Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Extremwertaufgabe
Guten Tag,
ich muss bis morgen eine komplexe Extremwertaufgabe machen und habe so gut wie keine Idee, wie ich das anstellen soll. Ich zitiere mal die Aufgabenstellung:

Einer Kugel wird ein gerades Prisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche einbeschrieben. Wie groß ist das maximal mögliche Prismavolumen?

So, die Hauptbedingung wäre ja das Volumen des Zylinders? Also:
A(a, h) =[ (a^2)/4 ] * Wurzel (3)

oder?

Aber da ja der Radius der Kugel nicht in der Berechnung des Prismas auftaucht, habe ich keine Idee wie ich die Nebenbedingung formulieren soll und wie ich diese in Verbindung bringe (Sprich: Einsetzungsverfahren). unglücklich

Wäre euch sowas von dankbar, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet, da ich solch eine Extremwertaufgabe vorher noch nie behandelt habe.


Danke im Voraus.
mfG


Bluntnose
Chris32 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du keinerlei andere Angaben im Informationstext? Du redest hier von einem Radius wie ist dieser?
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind keine konkreten Größen gegeben. Deswegen ist es j auch eine "komplexe Extremwertaufgabe". Ahbe neben dem Text, den ich bereits geschrieben hab nur noch eine Zeichnung, wo eine Kugel mit einem Zylinder darin abgebildet ist. Mehr nicht.


mfG
Chris32 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt immer noch irgendeine Anmerkung im Text, wo du wenigstens eine Zahl etc rausziehen kannst. Anders geht es nicht
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Hm außer dass das Prisma eine Grundfläche hat, die ein gleichseitiges Dreieck ist, nichts! Hmm, da soll ja auch kein Wert rauskommen, man muss nur eine Zielfkt. aufstellen glaub ich.
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Also vorher auf der Einführungsseite steht:
Bei Extremwertproblemen muss der Term der Zielfunktion in Abhängigkeit von einer einzigen Variablen dargestellt werden. Welche Variable zweckmäßig ist, zeigt ogt erst die Bearbeitung.

Brauche euch!


mfG
 
 
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht mal jemand wenigstens nen Ansatz von Idee?
Wäre soo wichtig!
Bitte!

mfG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Extremwertaufgabe
Zitat:
Original von Bluntnose
...
So, die Hauptbedingung wäre ja das Volumen des Zylinders? Also:
A(a, h) =[ (a^2)/4 ] * Wurzel (3)
...


Das ist nicht das Volumen des Prismas, sondern nur dessen Grundfläche! Es fehlt noch die Höhe des Prismas, bezeichne diese mit h. Der Radius der Kugel ist allgemein mit r gegeben, das gesuchte maximale Prismenvolumen ist in diesem auszudrücken.

Die Nebenbedingung enthält die Abhängigkeit der Prismengrundkante, der Höhe und dem Radius der Kugel. Dazu führst du einen entsprechenden ebenen Schnitt durch den Mittelpunkt der Kugel und durch eine Höhe des Grunddreieckes ein. In diesem sind nun ein Kreis und ein rechtwinkeliges Dreieck zu sehen, h/2 und 2/3 der Dreieckshöhe sind die Katheten und r die Hypotenuse.

mY+

Zur Skizze:

Da das Prisma der Kugel eingeschrieben ist, sieht man links den Schnitt einer
Seitenkante mit dem Hauptkreis der Kugel direkt, rechts liegen jedoch die beiden
Seitenkanten vorne und hinten; parallel zur Sicht sind die Höhen des Basis- bzw.
Deckdreieckes.
Der Mittelpunkt der Kugel befindet sich auf einer senkrechten Linie mit den
Schwerpunkten der Dreiecke.
Grund: Die Schnittkreise der Basis- und Deckebene mit der Kugel sind Umkreise
des gleichseitigen Basis- bzw. Deckdreieckes.
[Radius: (2/3)*h1]
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

So danke mythos für die Hilfe. Kann sie leider nur bedingt nachvollziehen, habe aber nun eine Idee für die Nebenbedingung.

Also Hauptbedingung wie gesagt:

V(a,h) = [(a^2) / 4]*sqrt(3)*h

Nebenbedingung würde ich wie folgt annehmen:

r^2 = (h/2)^2 + Mittelpunkt des Dreiecks^2

Wie berechnet man den Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks?

Ist die Nebenbedingung so korrekt formuliert?


Danke im Voraus!

mfG

Bluntnose
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sowohl aus der Zeichnung, als auch aus dem Text geht hervor, dass der Radius des Schnittkreise der Basis- und Deckebene mit der Kugel zwei Drittel mal der Höhe des gleichseitigen Dreieckes ist. (Das ist durch die Schwerpunktseigenschaft begründet; der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden [Schwerlinien] im Verhältnis 2 : 1 von der Ecke aus). D.h. vom Mittelpunkt bis zum Eckpunkt sind es



Das setzt du als eine Kathete beim Pythagoras ein.
Die Nebenbedingung ist sprachlich nicht schön formuliert, auch wenn du das Richtige meinst, den Mittelpunkt kann man schwerlich quadrieren.

mY+
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Super jetzt hab ich den roten Faden wieder. Danke dir vielmals! Freude

mfG

Bluntnose
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich wohl doch zu früh gefreut. Habe noch einige Probleme bei der Aufgabe.

Ich stell sie einfach mal vor, wie ich sie bisher habe:

1) Hauptbedingung:

V(a, h) = [(a^2)/4 ] * sqrt(3) * h

2) Nebenbedingung:

Habe über den Pytagoras die Höhe des Grunddreiecks ausgerechnet und komme dann eben auf die besagten (a/3) *sqrt(3)

Habe nun erneut den Pytagoras angewendet, und zwar wie folgt:

r^2 = (h/2)^2 + [(a/3)*sqrt(3) ]^2 wobei r der Radius der Kugel ist und h die Höhe des Prismas.

Habe nach h umgestellt und bekomme:

h= 2* sqrt(r^2 - (1/3) * a^2)

Ist das soweit richtig?


Nun habe ich h in V(a,h) eingesetzt und bekomme dann:

V(a, r) = (a^2) / sqrt(3) * sqrt(r^2 - (1/3) * a^2)

Oder heißt es nur V(a) ?

Nun muss ich doch die erste Ableitung finden oder?

Wäre euch wie immer für Bestätigung bzw. Verbesserung dankbar!


mfG


BLuntnose
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es heisst nur V(a), den r ist eine Konstante.
In diesem Fall ist es aber besser, du stellst nach um, denn in V kommt das a nur quadratisch vor, sodass du es direkt dort ersetzen kannst und somit eine Funktion V(h) erhältst. Danach V'(h), Null setzen, 2. Ableitung, usw., wie gehabt.

mY+

[Kontr.: ]
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Oke also haben wir dann mit a^2 = 3 r^2 - 3/4 * h^2
in
V(a,h)

-->

V(h)= (3*r^2*sqrt(3)*h - 3/4 *h^3*sqrt(3)) / 4

Nun suche ich die erste Ableitung und bekomme:

V'(h) = (3*srqt(3)*r^2 - 9/4*sqrt(3)*h^2

oder?

Nullstelle wäre h=2*r

Bei der 2ten Ableitung fällt mein r aber weg da kein h mehr vorhanden ist. Wie muss ich das machen, dass ich auf die V=(r^3) /3 komme?

mfG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bereits die Nebenbedingung stimmt schon nicht.
Daher ist alles Weitere schon falsch.
Setze nochmals die richtigen Größen in den Pythagoras ein!

mY+
Bluntnose Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm..
Es ist doch
r^2 = (h/2)^2 + [(a/3)*sqrt(3)]^2

oder stimmt die 2te Kathete nicht?


mfG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, die stimmt, aber rechnen sollte man dann auch richtig.

Die Nebenbedingung stimmt doch, wie ich gerade sehe. Weil du konsequent keinen Formeleditor verwendest, ist deine Rechnung äusserst schlecht zu lesen, da darfst du mir mal keinen Vorwurf machen (künftig werde ich solches einfach nicht mehr bearbeiten).

Der Fehler liegt in der Ableitung.

Einerseits schleppst du dauernd die 3 und die Wurzel aus 3 mit, obwohl du die als konstanten Faktor schon längst ausklammern und weglassen hättest können und die Viertel lässt du dann wiederum gleich weg (was nicht falsch, aber inkonsequent ist).

Zitat:
Original von Bluntnose
...
Nun suche ich die erste Ableitung und bekomme:

V'(h) = (3*srqt(3)*r^2 - 9/4*sqrt(3)*h^2
...


Das stimmt nicht, denn im zweiten Summand fehlt der Faktor 3.

mY+
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