Differentialgleichung

15.04.2005, 14:10

hansmoleman

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Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y^{||}-4y^{|}+3y=(15x-8)*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Guten Tag erstmal ...

und zwar habe ich diese Differentialgleichung mit Hilfe der Variation der Konstanten schon gelöst!
....ABER es gibt noch eine andere Methode bei der man den partikulären Teil mit hilfe der Störfunktion ermittel...

$\begin{eqnarray*} e^{ax}*[P*cos(bx)+Q*sin(bx)] \end{eqnarray*}$

so sieht diese form ungefähr aus... die frage ist jetzt wie ich mit dieser form zurecht komme ?

der ansatz ist mir sehr unklar...(unser prof sagte was von min und maximum der funktion=s) ????

danke für eure bemühungen...
traurig

traurig

15.04.2005, 14:22

quarague

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ich glaube diese Störfunktion ist als allgemeiner Ansatz gedacht. Das heisst du vermutest, eine konkrete Lösung der Dgl hat die Form dieser Störfunktion für geeignet gewählte Parameter a,b,P,Q (reelle Werte sollten hoffentlich reichen)
um die Parameter zu bestimmen, nimmst du jetzt die Störfunktion und leitest sie 2mal ab und und setzt das in die Gleichung ein, dann hoffst du, dass du wenigstens eine Konfiguration von Parameter ablesen kannst die die Gleichung löst.
Dabei ist dieser Ansatz für die Störfunktion spezifisch für diese Dgl, für eine andere Dgl muss man einen anderen Ansatz machen, und was der richtige Ansatz ist, lässt sich nicht pauschal festlegen, man macht das eher mit Intuition und Erfahrung.

15.04.2005, 14:42

hansmoleman

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Danke für deine antwort
ok das hab ich jetzt so ungefähr vertsnden...

würde das bedeuten, dass ich jetzt a=-2 und b=0 setzt (sin(0)=0) aber wie stelle ich jetzt den ansatz auf ? kannst du mir für den konkreketen fall (s.o) den ansatz erläutern ?

mfg h.m.

15.04.2005, 15:30

AD

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Der Ansatz bringt hier nichts. Versuch es eher mit
$\begin{eqnarray*} y_p(x)=e^{-2x}(Px+Q) \end{eqnarray*}$
Und warum ausgerechnet der Ansatz? Weil sowohl $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ und seine Ableitungen als auch die rechte Seite diese Struktur aufweisen, und daher die Chancen gut stehen, dass was Vernünftiges dabei herauskommt.

15.04.2005, 16:31

hansmoleman

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danke....

ich habs rausbekommen !!!! THX THX THX

jedoch habe ich noch eine abschließende frage....

wie bist du ausgerechnet auf (Px+Q)gekommen ?

ergibt sich das aus (15x-8) ? was wäre wenn der störfaktor z.B

e^(-2x)*(x^2-1) heißen würde ? danke

15.04.2005, 17:07

AD

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Man kann sich leicht überlegen, dass bei einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und einer rechten Seite $\begin{eqnarray*} P(x)e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ ein Polynom k-ten Grades ist, ein ebensolcher Ansatz $\begin{eqnarray*} Q(x)e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ , wieder mit einem Polynom k-ten Grades $\begin{eqnarray*} Q(x) \end{eqnarray*}$ zum Erfolgt führt.

Stimmt allerdings nur dann, wenn das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle der zur homogenen Dgl gehörenden charakteristischen Gleichung ist! In diesem Falle wird es etwas komplizierter.

Zu beachten ist, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bei diesen Überlegungen durchaus komplex sein darf - damit hat man dann auch einige verwandte Sinus/Kosinus-Terme im Griff.

EDIT: Hab nochmal drüber nachgedacht: Falls $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ r-fache Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, dann klappt der Ansatz trotzdem, aber mit eine Polynom $\begin{eqnarray*} Q(x) \end{eqnarray*}$ vom Grad (k+r). Wink

Wink

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15.04.2005, 17:27

hansmoleman

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super du hast mir echt weiter geholfen.... so langsam verstehe ich jetzt auch mal meine mitschrift von der vorlesung....

jetzt verstehe ich auch den zusammenhang der Charakteristischen gleichung mit dem ansatz...

unser prof hatte nämlich angeschrieben wenn a+b*i= Koeffizient von y ist , dann den ansatz * x ...
(a und b siehe erstes posting)

aber du hast ja geschrieben wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = NS der Charakt. Gleichung ist dann....

....wahrscheinlich meinte unser prof. nullstelle und nicht koeffizient....
kann man das irgendwie vereinbaren ?

danke für die mühe smile

smile

15.04.2005, 17:42

AD

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Zitat:

Original von hansmoleman
unser prof hatte nämlich angeschrieben wenn a+b*i= Koeffizient von y ist , dann den ansatz * x ...
(a und b siehe erstes posting)

Ja, er meint sicher einfache Nullstelle vom charakteristischen Polynom. Und dein Ansatz oben fügt sich in meine Betrachtungen ein, denn es ist

$\begin{eqnarray*} e^{ax}[P\cos(bx)+Q\sin(bx)] = e^{ax}[P\cosh(i\,bx)-i\,Q\sinh(ibx)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = e^{(a+i\,b)x}\frac{P-i\,Q}{2}+e^{(a-i\,b)x}\frac{P+i\,Q}{2} =: Ue^{(a+i\,b)x}+Ve^{(a-i\,b)x} \end{eqnarray*}$

mit dann komplexen Koeffizienten U,V im Ansatz.

15.04.2005, 17:56

hansmoleman

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wow....

Danke für deine Hilfe.... ausgezeichnet....

ich hoffe ich habe dich nicht allzulange aufgehalten...

Finde ich wirklich super, dass es noch Leute gibt die ihr wissen an andere weitergeben....

THX ....

Freude

Freude

Freude

16.04.2005, 13:41

hansmoleman

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hallo ich bins nochmal...

hab jetzt noch ne andere frage.... und zwar ....

womit kann ich differentialgleichungen 3.ordung lösen ?

Also mit meinem Gtr gehts nicht, der kann nur bis zur 2.Ordung...(das ergebnis habe ich, mich interresiert nur obs richtig ist)

evtl. mathcad ?

danke
Hilfe

Hilfe

ich würde gerne wissen , ob die lösung dieser D.Gl

$\begin{eqnarray*} y^{|||}+3*y^{||}-4*y=cos(2x) \end{eqnarray*}$

diese lösung ergibt ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}*cos(2x)+ \frac{1}{40}sin(2x)+c1*e^{x}+c2*e^{-2x}+c3*^{-2x} \end{eqnarray*}$

danke

16.04.2005, 14:31

etzwane

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MuPAD rechnet mit: solve(ode(y'''(x)+3*y''(x)-4*y(x)=cos(2*x),y(x)))

vergleiche selbst:
C1*exp(x) - 1/20*cos(2*x) - 1/40*sin(2*x) + C2*exp(-2*x) + C3*x*exp(-2*x)

16.04.2005, 15:02

AD

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Und ohne MuPad kommt's auch raus:

Charakteristische Gleichung: $\begin{eqnarray*} 0=\lambda^3+3\lambda^2-4=(\lambda-1)(\lambda^2+4\lambda+4)=(\lambda-1)(\lambda+2)^2 \end{eqnarray*}$

Das ergibt die Basislösungen $\begin{eqnarray*} e^x,e^{-2x},xe^{-2x} \end{eqnarray*}$ der homogenen Gleichung, letztere wegen der doppelten Nullstelle (-2) .

Und da $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle ist, führt der Partikulär-Ansatz

$\begin{eqnarray*} y_p=A\cos(2x)+B\sin(2x) \end{eqnarray*}$

dann sicher zum Erfolg: $\begin{eqnarray*} A=-\frac{1}{20},B=-\frac{1}{40} \end{eqnarray*}$ .

16.04.2005, 15:46

hansmoleman

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oh mann danke ....

das vorzeichen hatte ich falsch (flüchtigkeitsfehler)

ansonsten noch das x vergessen für die doppelte NS=-2 ;

danke , aber mit welchem programm kann ich das auch überprüfen ?

gibt es da im i-net keine "berechnungsmaschine " ??

THX

16.04.2005, 15:52

etzwane

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Ich hatte das Ergebnis mit MuPAD light rausgekriegt, ist kostenlos für private Nutzung, dafür etwas bedienungsunfreundlich und gewöhnungsbedürftig. Aber hatte immerhin deine Schreibfehler entdeckt.

Such mal bei Google.

17.04.2005, 11:45

hansmoleman

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danke für eure hilfe....

Das wird langsam ein wenig unangenehm für mich, aber ich hätte da noch ne frage verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} y^{|||}+4y^{|}=x-sin(2x) \end{eqnarray*}$

kann ich diese funktion bzw. den störfaktor genau so lösen wie oben ?

diesmal ist der störfaktor ja nicht im produkt, sondern in eine r summe dargestellt?

nach welcher methode kann man das lösen ?

mfg h.m.

17.04.2005, 12:29

quarague

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kannst du und es ist sogar ein bisschen leichter, weil differenzieren eine lineare Operation ist, das heisst (f+g)'=f'+g'
konkret anwenden kannst du das hier, indem du erst eine Lösung für
y'''+4y'=x
und eine für
y'''+4y'=-sin(2x)
suchst, und dann beide zusammenaddierst

17.04.2005, 13:04

hansmoleman

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danke.... stimmt klingt eigentlich logisch....

also ich habs jetzt mal durchgerechnet....

ich bekomme für die lösung

y=1/8 x² +C raus

da für den Störfaktor -sin(2x) alles wegfällt....

habe ich das richtig gemacht ? Kann das jemand bestätigen ????

Danke

smile

smile

18.04.2005, 20:29

hansmoleman

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sorry
entschuldigt bitte für den push up post....

aber was will ich machen....?ßß?? sonst sieht mich ja keiner mehr.... danke

böse

böse

18.04.2005, 20:40

iammrvip

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Es stimmt noch nicht. Zum mindest fallen bei mir die "Sinusse" nicht weg. Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}x^2 \end{eqnarray*}$ stimmt schonmal.

18.04.2005, 21:14

hansmoleman

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???

mmhhh...

stimmt denn mein anstaz für... $\begin{eqnarray*} y^{|||}+4*y^{|}=-sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=t*cos(2x)+p*sin(2x) \end{eqnarray*}$

danke...

weil wenn der ansatz stimmt löst sich bei mir alles auf, wenn ich die ableitungen in die D.Gl. wieder einsetze....

mfg h,m

18.04.2005, 21:37

quarague

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für die Lösung von y'''+4y'=-sin(2x)
brauchst du den Ansatz x*sin(2x) bzw x*cos(2x)
ausserdem kannst du überlegen, ob du vorher einmal
f:=y' substituierst und dann das System f''+4f = -sin(2x) löst, aber dann musst du danach wieder integrieren Wink

Wink

18.04.2005, 21:57

hansmoleman

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ok... jetzt verstehe ich nix mehr...

wie kommst du auf diesen ansatz ?

woher kommt er ?

danke für die hilfe... unglücklich

unglücklich

hat das evtl etwas mit der nullstelle der charakteristischen gleichung (x=0) zu tun ?

2*i ist ja keine NS , deshalb verstehe ich das nicht....

18.04.2005, 23:04

AD

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Zitat:

Original von hansmoleman
2*i ist ja keine NS , deshalb verstehe ich das nicht....

Nein: (2i) ist Nullstelle von $\begin{eqnarray*} 0=\lambda^3+4\lambda=\lambda(\lambda+2i)(\lambda-2i) \end{eqnarray*}$

Der Ansatz zur partikulären Lösung ist dann übrigens

$\begin{eqnarray*} y_p=Ax\cos(2x)+Bx\sin(2x) \end{eqnarray*}$ .

19.04.2005, 14:08

hansmoleman

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THX .... Danke ....

Du hast mir echt geholfen, ich verstehe es jetzt Freude

Freude

super....

bis zum nächsten mal.... Wink

Wink

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