Potenzreihen

06.11.2007, 19:16

Angantyr

Potenzreihen

Exp und Cos seien Potenzreihen. Desweiteren gelte $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a >0 \end{eqnarray*}$ . Zeige

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^\infty {exp(-ma)Cos(mb)=\frac{1-exp(-a) Cos(b)}{1-2exp(-a)Cos(b) + exp(-2a)}} \end{eqnarray*}$

Hat jemand einen kleinen Ansatz zur Hand, ich habe versucht, es umzuformen, das ganze in der Potenzreihenform zusammenzufassen und daraus ein Konvergenzverhalten der Reihe abzuschätzen, das hat mir aber alles noch nichts gebracht und mir fehlt ein kleiner Trick. Kann mir jemand mit einem Ansatz oder Gedanken weiterhelfen ( Bitte nicht den Lösungsweg posten).

06.11.2007, 19:35

WebFritzi

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RE: Potenzreihen

Zitat:

Original von Angantyr
Exp und Cos seien Potenzreihen.

Beliebige Potenzreihen? Dann stimmt die Behauptung nicht!

07.11.2007, 16:49

Angantyr

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Nein, natürlich nicht. Cos(x) ist die Potenzreihe mit den Eigenschaften von cos(x), nur sind wir noch nicht so weit, dass wir definiert hätten, was cos(x) sein soll und rechnen momentan noch mit Folgen. $\begin{eqnarray*} Cos(x):=\sum_{k=0}^{\infty} {\frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}} \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das braucht. Oder schon? Und wenn ja wie?

07.11.2007, 17:47

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \exp(y){\rm Cos}(x):=\left(\sum_{j=0}^\infty \frac{y^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty} {\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}\right) = \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}y^j}{j! (2k)!} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2007, 18:12

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@Angantyr

Rein aus der Potenzreihendarstellung kann man schon mal

$\begin{eqnarray*} \cos(mb) = \cosh(imb) = \frac{1}{2}(\exp(imb)+\exp(-imb)) \end{eqnarray*}$

nachweisen. Wenn du jetzt noch $\begin{eqnarray*} \exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\cdot \exp(z_2) \end{eqnarray*}$ für beliebige komplexe $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ nachweisen kannst (bzw. schon nachgewiesen hast), dann bist du unter Nutzung der geometrischen Reihe schon so gut wie am Ziel.

07.11.2007, 18:59

Angantyr

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Natürlich... Harg, wie unglaublich dämlich von mir! Vielen Dank!

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