Unterraum: v+U = {v+u|u Element von U}

06.11.2007, 20:31

Franzi1986

Unterraum: v+U = {v+u|u Element von U}

Hey, habe da folgendes Problem...

aber zunächst die Aufgabe:

V sei ein ein Vektorraum, U ein Unterraum und v Element von V ein fester Vektor.
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} v+U := \{ v+u|u\in U\} \end{eqnarray*}$

ist selbst wieder ein Unterraum von V genau dann, wenn v Element von U. Wenn diese Bedingung gilt außerdem v + U=U.

Also ich weiß, dass ich in zwei Richtungen beweisen muss...also zunächst, dass wollte ich annehmen, dass v kein Element von V ist...komme aber nicht darauf, was ich für das feste v wählen muss, damit v + U kein UR ist...

So dann muss ich ja die andere Richtung beweisen...wollte dabei die Unterraumkriterien überprüfen...d.h.

z.z. (v+u)+(v+u') Element von v+U

z.z. k*(v+u) Element von v+U

z.z. 0 Element von v+U

aber ich weiß nicht genau...wie ich das dann zeigen kann...also wie es deutlich wird...

Wäre nett, wenn mir wer weiterhelfen könnte...glg

Also nochmal...wenn v kein element von U sein soll und U UR ist...dann darf V nicht Null sein...also ist V verschieden Null und dann ist v + U kein UR mehr, weil ja dann der Nullvektor nicht mehr Element von U ist...oder

06.11.2007, 21:33

tmo

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beweise zuerst:

$\begin{eqnarray*} v \in U \Rightarrow v+U = U \end{eqnarray*}$
hier musst du die gleichzeit zweier mengen beweisen. wie macht man das?
Tipp hierzu: wegen $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ existiert ein v' mit $\begin{eqnarray*} v + v' = 0 \end{eqnarray*}$

wenn du dies beweisen hast, ist es trivial das v + U dann ein Untervektorraum von V ist.

nun musst du die andere richtung beweisen.
dazu beweist man einfach, dass wenn v nicht aus U ist, dann ist v+U kein Untervektorraum von V.
Tipp hierzu: da v nicht un U liegt, kann es in U kein inverses zu v geben. was enthält v + U also nicht?

06.11.2007, 21:35

Franzi1986

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also stimmt meine Erklärung in meiner ersten Antwort...oder?

06.11.2007, 21:36

Franzi1986

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aber ich soll ja zunächst...diese erste Bedingung beweisen, bevor ich v+U=U zeige, da dies ja Vorraussetzung dafür ist...aber den zweiten Teil kann ich ja trotzdem verwenden...oder habe ich da jetzt was falsch verstanden...vielen Dank schon mal...

06.11.2007, 21:39

tmo

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du darfst in dem beweis natürlich nicht benutzen, dass v+U ein untervektorraum von V ist.

aber sonst gibt es keinen grund, der dagegen spricht, dass man das machen darf.

06.11.2007, 21:42

Franzi1986

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Das heißt v + U enthält keinen 0-Vektor und ist dann kein UR mehr...ok...dann kümmere ich mich jetzt mal um den Rest...

kann man die v + v' einfach zu U addieren ist ja dann Null...also...

v+U=U <=> v+U=U+v+v' <=> U=U + v'

oder keine gute Idee

06.11.2007, 21:51

tmo

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nein du kannst doch nicht einfach mengen und ihre elemente vermischen und damit rechnen.

wie schon erwähnt: du musst ja die gleichheit zweier mengen beweisen. wie macht man das im allgemeinen?

06.11.2007, 21:55

Franzi1986

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Zum Beispiel : A Teilmenge von B ^ B Teilmenge von A <=> A=B

So habe ich z.B. die Gleichheit der Beiden Mengen A und B gezeigt...

ok, ich stehe irgendwie auf dem Schlauch...ich muss doch zeigen, dass v + U=U ist...also die Mengen v+U und die Menge U gleich sind...d.h. v muss Element von U sein

also:.....

man kann nicht zeigen, dass v+U = U+v' oder

dann muss ja v' als in Inverses zu v ...

06.11.2007, 21:59

tmo

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genau.
dann versuch das mal zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} v \in U \Rightarrow v+U \subseteq U \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} v \in U \Rightarrow U \subseteq v+U \end{eqnarray*}$

06.11.2007, 22:04

Franzi1986

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eigentlich ist ja klar, dass das gleich ist...irgendwie bin ich doof...ich glaube ich mache es mir zu schwer...in U muss ja ein Inverses zu v sein...kann ich das nciht rausziehen...

06.11.2007, 22:09

tmo

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ich beweis dir mal

$\begin{eqnarray*} v \in U \Rightarrow v+U \subseteq U \end{eqnarray*}$

du beweist dann den anderen teil, ok?

es sei $\begin{eqnarray*} x \in v+U \end{eqnarray*}$ beliebig.
so existiert ein $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} x = u + v \end{eqnarray*}$ .
nach vorraussetzung ist $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ und da U ein untervektorraum ist, folgt $\begin{eqnarray*} x = u+v \in U \end{eqnarray*}$ , q.e.d.

zugegeben, das war jetzt der einfachere teil. jetzt bist du dran Augenzwinkern

06.11.2007, 22:16

Franzi1986

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Also ok, dann fange ich mal an...ich kann doch auch wieder mit x ist Element U anfangen oder?

also da ja U ein UR ist gelten ja die Unterraumkriterien...das heißt...auch das Kriterium, dass in einem Unterraum aus zwei Vektoren v,w Element von V folgt, dass v+w ebenfalls Element von V...

also ich weiß, dass U ein Unterraum ist und das v Element aus U...sowie auch u Element aus U...dann gilt auch v+u Element aus U...dann kann ich ja sagen, dass für x ein v+u Element von U existiert...

oder vielleicht so:

Es gibt ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$
außerdem wissen wir, dass U ein Unterraum ist, indem die UR-Kriterien gelten...d.h. auch das Kriterium der Addition...es ist vorgegeben, dass $\begin{eqnarray*} v\in U \end{eqnarray*}$ und wir haben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} x+v\in U \end{eqnarray*}$ ...dann kann ich ja sagen, dass....

06.11.2007, 22:16

tmo

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ja genau damit solltest du anfangen.

06.11.2007, 22:40

Franzi1986

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Ok, da ist glaub was schief gegangen...falls du Zeit hast...schau mal bitte, ob meine Idee ansatzweise ok ist..glg

07.11.2007, 12:53

lokomotive

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RE: Unterraum: v+U = {v+u|u Element von U}
Hallo

Ich finde das ziemlich kompliziert. Und habe auch ein paar Verständnissfragen.

a) Welche Bedeutung hat ein fester Vektor?

b) Wie kommt man von $\begin{eqnarray*} u + v \in U \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} v + U \subseteq U \end{eqnarray*}$ ?

c) Wenn man über das negative Element zu v und dann den Nullvektor darauf kommt, dass $\begin{eqnarray*} v + U = U \end{eqnarray*}$ ist, genügt es nicht als Beweis dafür, dass $\begin{eqnarray*} v + U \subseteq V \end{eqnarray*}$ ist?

07.11.2007, 16:21

tmo

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a) fest bedeutet einfach nur, dass v irgendein beliebiger vektor aus V ist, der halt konstant bleibt, sobald er einmal gewählt ist.
vielleicht vergleichbar mit einem scharparameter bei einer funktionenschar.

b) ich habe mit $\begin{eqnarray*} x \in v+U \end{eqnarray*}$ angefangen und habe dann bewiesen, dass auch $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt.
daraus folgt dass jedes beliebige element aus v+U auch ein U enthalten ist. so erhält man die teilmengenrelation.

c) kannst du denn gedankengang etwas genauer ausführen? was reicht um was zu zeigen?

07.11.2007, 17:02

lokomotive

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a) und b) habe ich jetzt nachvollziehen können, bzw. verstanden.

zu c)
Wenn ich beweise, dass $\begin{eqnarray*} v + U = U \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} U \subseteq V \end{eqnarray*}$ folgt daraus nicht direkt, dass $\begin{eqnarray*} v + U \subseteq V \end{eqnarray*}$ ?

Der Beweis erfolgt ja über den Nullvektor u.a., denke ich zumindest, wieso muss ich dann noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ ? Also die Rückrichtung ?

Ich verstehe wie es geht, aber wieso muss man es machen?

07.11.2007, 17:15

tmo

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Zitat:

Original von lokomotive

zu c)
Wenn ich beweise, dass $\begin{eqnarray*} v + U = U \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} U \subseteq V \end{eqnarray*}$ folgt daraus nicht direkt, dass $\begin{eqnarray*} v + U \subseteq V \end{eqnarray*}$ ?

dass $\begin{eqnarray*} v + U \subseteq V \end{eqnarray*}$ gilt, muss aber doch nirgends bewiesen werden. es ist aber schnell gemacht, da U doch ein untervektorraum von V ist und v selbst laut vorraussetzung in V enthalten ist.

Zitat:

Original von lokomotive
Der Beweis erfolgt ja über den Nullvektor u.a., denke ich zumindest, wieso muss ich dann noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ ? Also die Rückrichtung ?

wenn man die äquivalenz zweier aussagen beweisen will, muss man immer auch die Rückrichtung beweisen.

ich habe mich hier allerdings folgender hilfe bedient:
$\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B ) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$

@Franzi:
Der Beweis ist immer noch nicht komplett abgeschlossen.
du hast ja richtig angefangen mit:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ beliebig.
Am ende soll folgendes da stehen: $\begin{eqnarray*} x \in v+U \end{eqnarray*}$
jetzt beherzige mal meinen tipp, dass in U ein v' mit $\begin{eqnarray*} v'+v=0 \end{eqnarray*}$ existiert.
$\begin{eqnarray*} x = x+0 = ... \end{eqnarray*}$

07.11.2007, 17:40

lokomotive

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Jetzt verstehe ich meine Aufgabe nicht mehr. geschockt

Es heisst doch. Zeige $\begin{eqnarray*} v + U \subseteq V \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ . Desweiteren gilt $\begin{eqnarray*} v + U = U \end{eqnarray*}$ .

Du hast am Anfang auch geschrieben, anfangen mit $\begin{eqnarray*} v + U = U \end{eqnarray*}$ .

Dann zeige ich, $\begin{eqnarray*} 0 + U = U \end{eqnarray*}$ . Also muss $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ sein und $\begin{eqnarray*} U \in U \end{eqnarray*}$ .
Da ich zeige $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} v \in U \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich irgendwo einen Denkfehler habe, dann bitte sagen.

07.11.2007, 17:45

tmo

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1. denkfehler: man soll beweisen, dass v+U ein untervektorraum von V ist. das ist was anderes als eine teilmenge.

2. was soll denn 0 + U = U bedeuten? du addierst zu einer zahl eine menge und setzt das dann widerrum einer menge gleich. verwirrt

3. in einem vektorraum V gilt $\begin{eqnarray*} u \in V \text{ und } v \in V \Rightarrow u+v \in V \end{eqnarray*}$
die rückrichtung (welche du angewandt hast) gilt nicht.

4. "da ich zeige v = 0". verwirrt

das kann man nicht zeigen, da es ja nicht allgemein gilt. vielleicht solltest du dir den ganzen thread nochmal sorgfältig durchlesen.

07.11.2007, 18:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von tmo
2. was soll denn 0 + U = U bedeuten? du addierst zu einer zahl eine menge und setzt das dann widerrum einer menge gleich. verwirrt

Die Null ist hier wohl der Nullvektor.

07.11.2007, 19:07

Franzi1986

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Also habe das jetzt so gemacht:

U ist Unterraum von V, indem die Unterraumkriterien gelten.
Dann gibt es ja den festen Vektor v.

Es gilt: v+U := {v+u|u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U}

Zunächst:

1. Sei v+U ein Unterraum. Wenn v+U ein Unterraum ist, muss der Nullvektor in v+U enthalten sein, d.h., dass es ein u $\begin{eqnarray*} \in U \end{eqnarray*}$ geben muss mit:

$\begin{eqnarray*} 0=v+u \end{eqnarray*}$

oder, dass -v=u Element von U.

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} -v\in U \end{eqnarray*}$ und dann ist auch $\begin{eqnarray*} v\in U \end{eqnarray*}$ , da v das Inverse zu -v ist und nach den Unterraumskriterien gilt, dass, wenn v Element von U auch -v Element von U.

so jetzt die andere Richtung:

2. Sei nun $\begin{eqnarray*} v\in U \end{eqnarray*}$

dann wissen wir:

$\begin{eqnarray*} v+u\in U \end{eqnarray*}$ für alle u Element von U

...weil ja u Element von U und v Element von U...und nach dem Unterraumskriterium der Addition ist u+v dann ebenfalls Element von U.

also v+U Teilmenge von U.

Nun gibt es aber auch das v-u Element von U (inverses u)

und damit auch u-v Element von U.

Also: $\begin{eqnarray*} v+w=v+(u-v)=u \in v+U \end{eqnarray*}$ für alle v Element von U

also letztlich: v+U = U

Also ist u+V genau dann ein Unterraum, wenn v in U liegt.

übrigens ich habe nie bei den Vektoren Pfeile, weil wir das nicht machen sollen....

aber weiß vielleicht jemand, wie das mit den Unterraumkriterien geht. Da shabe ich bei meinem ersten Beitrag formuliert...

Also bei der Lösung mit dem x...

x=x+0=x+v+v'=v+(x+v') E

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Unterraum: v+U = {v+u|u Element von U}

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