Doku-Versuch: Asymptoten in Kurvendiskussion

06.11.2007, 21:38	Nico II.	Auf diesen Beitrag antworten »
Doku-Versuch: Asymptoten in Kurvendiskussion Wollen wir mal versuchen eine Art Doku zu erstellen? Bitte helft mit das ganze anschaulicher zu gestalten. Ich überlege ob es nicht sinnvoll wäre eine vollständige Doku zur Kurvendiskussion anzulegen, die wirklich idiotensicher ist. Korregiert bitte auch meine Angaben, ob sie in der Art zutreffen. In Kurvendiskussionen müssen sich Schüler zwangsläufig mit Asymptoten auseinandersetzen. Diese können Geraden, aber auch Kurven sein, die sich einer vorgegebenen Kurve beliebig nähern, sie aber nie berühren werden (Siehe Wikipedia: Asymptote) Bei zwei Punkten der Kurvendiskussion bekommt es der Schüler mit Asymptoten zu tun. Wenn das Verhalten an einer Definitionslücke bestimmt wird und wenn das Verhalten im Unendlichen untersucht wird. Die erste Möglichkeit entfällt für den Fall, dass eine untersuchte Funktion keine Definitionslücke aufweist. Beide Punkte werden im folgenden dargestellt. Verhalten an Defintionslücken Ergibt die Untersuchung, dass je näher man sich der Definitionslücke annähert, der y-Wert mehr und mehr ins negative, bzw. positive Unendlich geht, so liegt eine Polstelle vor. Geht es vom negativen wie vom positiven aus betrachtet ins positive Unendliche ist diese eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (kurz: VZW), geht es bei einer Betrachtung ins positive, bei der anderen ins Negative so ist es eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Zugleich ist die senkrechte Gerade für den x-Wert der Definitionslücke eine Asymptote. Beispiele Polstelle ohne Vorzeichenwechsel Hier wird sich vom positiven angenähert, zu sehen am hochgestellten Pluszeichen hinter der 5. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 5^+} f(x)=-\infty \end{eqnarray}$ Hier wird sich vom negativen angenähert, zu sehen am hochgestellten Minuszeichen hinter der 5. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 5^-} f(x)=-\infty \end{eqnarray}$ Beispiel mit Vorzeichenwechsel $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 5^+} f(x)=-\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 5^-} f(x)=+\infty \end{eqnarray}$ Die Asymptote wäre in jedem Fall x=5 Verhalten im Unendlichen Diese Untersuchung ist umfassender. Ergibt die Untersuchung bei einem gebrochenrationalem Funktionsterm f(x) beispielsweise das folgende, so liegt keine waagerechte Asymptote vor: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty \end{eqnarray}$ Hier ist wichtig, dass hinter dem Gleichheitszeichen ein Unendlich egal welchen Vorzeichens steht. Steht dort ein Zahlenwert, so liegt hier eine waagerechte Asymptote vor. Es ist jedoch auch das Verhältnis von Zähler- und Nennergrad zu beachten. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so ist die x-Achse Asymptote Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, so ist eine Parallele zur x-Achse Asymptote. Ist der Nennergrad um 1 kleiner als der Zählergrad, ist die Asymptote schräg. Ist der Nennergrad um mehr als 1 kleiner als der Zählergrad, ist die Asymptote keine Gerade, sondern kurvig. In den letzten beiden Fällen muss der Funktionsterm mittels Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenen Term zerlegt werden. Der ganzrationale Term liefert die Gleichung für die Asymptote.
06.11.2007, 21:46	pusteblume-88	Auf diesen Beitrag antworten »
mmh, wir haben letztens im untericht eine komplette kurvendiskussion gemacht, und überalle noch weitere beispiele zu gemacht, was dort an schwierigkeiten autreten kan....kann ich euch morgen gerne mal einscannen heute schaff ich es leider nicht mehr.... das ist eine gute idee @nico was ich manchmal vermisse, ist eine art formelsammlung mit entsprechenden beispielen....so dass man nicht jede aufgabe hier posten muss, und warten muss, sondern eben schnell nachlesen kann
07.11.2007, 18:38	Nico II.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, wie schaut's aus, Matheboard? Jeder Helfer könnte dann zumindest erstmal auf diese Doku verweisen, die vielleicheicht auch in einer Art Mathe-Wiki als Masterversion vorliegen könnte. Kein Interesse an effizienteren Abläufen ;-) ?
07.11.2007, 19:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal hier geschaut: Workshops Ist ja nicht so, dass wir so etwas nciht schon machen. Du hättest Dich auch bei mir als Author bewerben können. Ein eigenes Wiki werden wir nicht machen, da gibt es schon wikipedia. Sollte da ein Artikel mangelhaft sein, können wir gerne drüber sprechen.
07.11.2007, 19:20	pusteblume-88	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, das hatte ich bisher auch noch nicht gefunden dann brauch ich meine Kurvendiskussion also doch nicht einstellen, steht ja unter WS^^

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