Geradengleichung zweier Ebenen ?

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downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »
Geradengleichung zweier Ebenen ?
Hallo,
erstmal an alle hier. Es handelt sich nämlich um meinen ersten Beitrag hier.

Und zwar habe ich ein Problem mit einer Aufgabe ich kann sie ja mal hier herein schreiben:

" Um die Lage eines Kohle-Flözes zu bestimmen, wurden in den Punkten drei Tiefbohrungen niedgebracht.
Sie erreichen das Flöz in den Tiefen .

a) Geben Sie die Darstellung der (Flöz-) Ebene durch die 3 Punkte an.

b) In welcher Geraden (sog. Ausbiss) schneidet das Flöz die horizontal angenommene Erdoberfläche (x - y - Koordinatenebene) ?

"

Als die Teilaufgabe a) ist noch relativ einfach zu meistern.

Als Ebenengleichung erhalte ich:

rF (F für Flöz)
P.S. drei Klammern bei mir untereinander bedeutet: es handelt sich um eine (weiss nicht wie ich das sonst darstellen soll?)

gamma = my



für Teilaufgabe b) haben wir das Kreuzprodukt der beiden Ortsvektoren der Ebenengleichung gebildet:



Dann haben wir gesagt:

Normalenvektor n * r = n * r1 r1= ist der Vektor, der der sich aus P1 (-1;-1;-1) ergibt.

Diese Gleichsetzung verstehe ich nicht!!?

des Weiteren schreiben wir dann:


Wie kommt man auf diese Gleichung??

Dann sagen wir, dass z irgendwie 0 sein muss.

und kommen von

auf


Die Lösung soll angeblich richtig sein. Ich kann nur die letzten Schritte nicht nachvollziehen!!!

Ich hoffe, dass einer Lust hat, mir zu helfen.

MfG,

Rolli alias downunderthunder
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst haben wir mal einen Angabefehler, denn . In der Folge wird aber ohnehin mit diesem weitergerechnet.

Die parameterfreie Gleichung der Ebene - sie heisst auch Koordinaten- oder Normalvektorform - lautet







Rechts steht das skalare Produkt eines Ortsvektors zu einem beliebigen Punkt der Ebene und dem Normalvektor, und dieses ist eine Konstante.
Du brauchst also zur Ermittlung dieser nur einen Stützpunkt der Ebene hernehmen und den mit dem Normalvektor skalar multiplizieren.

Die Gleichung der Ebene der Erdoberfläche lautet z = 0. Sie ist mit der x-y Ebene identisch. Diese Ebene mit der Flöz-Ebene geschnitten ergibt daher eine Gerade (Ausbiss), ebenfalls in dieser x-y Ebene. Somit kann man in der Flöz-Ebene die Variable z durch 0 ersetzen und erhält die Gleichung einer Geraden (in x-y).

mY+
downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen Dank soweit erstmal.
P1 ist naturlich

Ok hab jetzt keine Zeit weiteres später!!!
Mfg,

Rolli
downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hab da noch ein kleines Verständnisproblem



Also der Vekor ist beliebig zu wählen (auf der Ebene) in unserem Fall wurde also der Ortsvektor von der Flöz-Ebene gewählt.



aber woher kommt der Vektor ?

und warum ergibt sich aus unsere Koordinatenform.
Die Ermitllung der Koordnatenform durch Addition -oder Subtraktionsverfahren ist mir geläufig.


MfG,

Rolli
downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

ok nach Langem habe ich mir nun die Lösung selbst gegeben mit einwenig Verständnis des Papulas:

also






also




aus ergibt sich (durch Eliminationsverfahren/Addition oder Subtraktion)

und aus ergibt sich

durch Additon in

ergibt dann

ergo



ist das so richtig? also Vorgehensweise usw.?

P.S. mir mangelte es daran, nicht zu wissen, dass man eine Gleichung von Parameterform in Normalenform umwandeln kann. Ich hoffe, dass das so jetzt klappt.

schöne Grüße aus Kiel,

Rolli
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das stimmt so weit.
Die Gleichung der Schnittgeraden gilt so nur in der x,y - Ebene. In ist dies die Gleichung einer Ebene parallel zur z-Achse und dann kommt noch die Ebene z = 0 dazu. Oder die Gerade kann durch eine Parameterdarstellung wiedergegeben werden.

mY+
 
 
downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen Dank.
Die Gleichung in die Parameterform umzuwandeln macht für mich hier keinen Sinn.
Schließlich geben wir Geradengleichungen üblicherweise in Koordinatenform an.


MfG,


Rolli
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da irrst du, bzw. stimmt das nur in !
Geradengleichungen in kann man (ausser mittels zweier sich in ihr schneidender Ebenen) grundsätzlich nicht in Koordinatenform angeben.

mY+
downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann nocmal die Umwandlung in die Parameterform.



gewählt

Der Richtungsvektor ergibt sich aus:


also


Ortsvektor:



Ist das richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, der Richtungsvektor ist



(Offenbar ein Rechenfehler bei der mittlere Determinante)

Aber sonst: OK!

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von downunderthunder
Ok dann nocmal die Umwandlung in die Parameterform.



gewählt

Der Richtungsvektor ergibt sich aus:


also


Ortsvektor:



Ist das richtig?


sehr kompliziert unglücklich







zusammenfassen:

downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

Ok stimmt ich hab bei der mittleren Determinate das "Vorzeichen" verplant.


@riwe

klar hätte ich für x gleich 0 wählen können, so wie du es indirekt gemacht hast.

Aber um den kurzen Weg zu nehmen, sollte man zumindest den langen kennen.

Mfg,


Rolli
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von downunderthunder
Ok stimmt ich hab bei der mittleren Determinate das "Vorzeichen" verplant.


@riwe

klar hätte ich für x gleich 0 wählen können, so wie du es indirekt gemacht hast.

Aber um den kurzen Weg zu nehmen, sollte man zumindest den langen kennen.

Mfg,


Rolli


verwirrt ich will ja nicht boshaft sein, aber das ist nonsens, was du da schreibst.
es sei dir unbenommen, alle wege zu kennen, aber man sollte sie auch können Big Laugh

ich habe NICHT gewählt, weder direkt noch indirekt, das wäre ein etwas "extravaganter parameter"
ich habe gewählt
downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

Ok aber warum verhält sich bei dir wie

schließlich enthält unser Ortsvektor kein t.

Vielleicht mag das eben von mir komisch geklungen haben, aber es ist ja auch schon viel Tag heute vergangen.

Und es warten noch andere Aufgaben auf einen wie die Elektrotechnik.

als dann,
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von downunderthunder
Ok aber warum verhält sich bei dir wie

verwirrt verwirrt verwirrt

schließlich enthält unser Ortsvektor kein t.

Vielleicht mag das eben von mir komisch geklungen haben, aber es ist ja auch schon viel Tag heute vergangen.

Und es warten noch andere Aufgaben auf einen wie die Elektrotechnik.

als dann,








zusammenfassen bedeutet:








downunderthunder Auf diesen Beitrag antworten »

Aha,
langsam beginne ich zu verstehen, aber ich werde mich erst später wieder damit befassen, schließlich hat man noch ganz viele andere Sachen zu lernen.
also Vektoren erst wieder zwischen Weihnachten und Neujahr zur Vorbereitung auf die Klausur.

Aber recht vielen Dank an alle, die mir hier geholfen haben.
"es ist bei mir heller geworden". Ich muss nur noch dafür sorgen, dass das Licht nicht wieder ausgeht. Also stetig wiederholen.

Ok ich schreib glaube ich schon wieder wirr.

MfG,

Rolli
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