"Vektorraum der Polynome"

07.11.2007, 00:01

marci_

"Vektorraum der Polynome"

Guten Abend!

in der letzten vorlesung wurden vektorräume kurz eingeführt und heute in den übungen bekamen wir aufgaben dazu:
kurze frage zur verständnis von vektorräumen:
vereinfacht gesagt (mathematisch sicher nicht ganz korrekt) bilden vektorräume den rahmen für rechenoperationen?hierzu müssen bestimmte kriterien erfüllt werden.
das gleiche gilt auch für untervektorräume?
ist das eine einfache erklärung von den vektorräumen?

nun zur aufgabe

verifizieren sie, dass Pol $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein (unendlichdimensioaler) $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ist.

wie kann ich sowas zeigen, bzw. was will die aufgabe genau von mir?
soll ich zeigen, dass ich auf Pol $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die operationen für einen vektorraum führen kann?
wenn ja, wie geht das?

vielen dank!

gruß, marci

07.11.2007, 00:33

WebFritzi

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Du hast da sogenannte Vektorraum-Axiome in deinem Skript stehen. Die stehen dort, wo definiert wird, was ein Vektorraum ist. All diese Punkte musst du für deinen Raum verifizieren.

07.11.2007, 00:40

marci_

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d.h. ich überprüfe dies mit den eigenschaften eines vektorraumes!
ich werde es heute mittag einmal machen.
danke!

10.11.2007, 14:24

marci_

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ich hab mich mal drangesetzt aber scheitere daran, dass cih nicht weiß, was ich für die variablen einsetzen muss...

$\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ist ein Körper

vekotrraum-axiome:
$\begin{eqnarray*} s,t \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v,w \in \mathbb V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (s+t)*v=sv+st \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s*(v+w)=sv+sw \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (s*t)*v=s*(v*t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1*v=v \end{eqnarray*}$

nun weiß ich das nicht auf meinen aufgabe anzuwenden...

11.11.2007, 14:07

marci_

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ich will ja nicht nerven, aber kann mir das vllt. jemand erklären =) ?

danke

11.11.2007, 14:10

kiste

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Naja es ist doch $\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb V = \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Der Rest folgt daraus das $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und du als Skalarmult. die Körpermult. nimmst

11.11.2007, 15:06

marci_

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und wie setz ich dann alles ein?

$\begin{eqnarray*} s,t \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v,w \in \mathbb V \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb V \end{eqnarray*}$

aber dann kann ich doch die eigenschaften nicht genau überprüfen, weil ich kein s und t habe, sondern nur eines davon, das x...

oder wie muss ich da genau einsetzen?

11.11.2007, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von marci_
vekotrraum-axiome:
$\begin{eqnarray*} s,t \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v,w \in \mathbb V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (s+t)*v=sv+st \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s*(v+w)=sv+sw \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (s*t)*v=s*(v*t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1*v=v \end{eqnarray*}$

Da fehlen aber noch welche. Es muß auch gelten, daß $\begin{eqnarray*} (v+w) \in \mathbb V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \cdot v \in \mathbb V \end{eqnarray*}$ ist.

Im konkreten Fall, mußt du also zeigen, daß wenn v und w Polynome sind, daß dann auch deren Summe wieder ein Polynom ist. Also das sollte doch machbar sein. Wenn das erledigt ist, dann natürlich noch die anderen Eigenschaften zeigen.

11.11.2007, 15:43

marci_

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also in meinem skript stehen diese axiome, aber das zweite axiom von mir stimmt ja mit deinem für s=1 überein...

ich hab jetzt aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v ,w \in \end{eqnarray*}$ Pol $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (v+w)*(x)=v(x)+w(x) \end{eqnarray*}$

aber das reicht doch noch nicht aus, oder?

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