lineares Gleichungssystem mit Bedingungen an die Lösungen

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mimis Auf diesen Beitrag antworten »
lineares Gleichungssystem mit Bedingungen an die Lösungen
Hallo zusammen

Ich habe ein Problem mit einem lineares Gleichungssystem:

Ich habe ein Gleichungssystem Ax=b bei dem A nicht quadratisch ist. Um dies zu lösen wäre eine möglichkeit die quadratische 2-Norm von Ax-b zu minimieren. Nun habe ich aber noch Bedingungen welche die x-Werte einhalten müssen: sie müssen alle zwischen 0 und 1 liegen.

d.h. löse Ax=b mit quadr. 2-Norm von Ax-b minimal und alle x-Werte zwischen 0 und 1.

Kennt irgendjemand einen Lösungsansatz zu diesem Problem? Wie könnte ich dies angehen. Danke für jeden Tipp.

gruss mimi
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage
Ist m > n oder m < n? Hast du ein Beispiel und/Oder sollst Du eine allgemeine Lösungsstrategie finden?
mimis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

es kann beides sein, m>n oder m<n, aber das lösen/optimieren des nichtbestimmten Gleichungssytems ohne zusätzliche Bedinungen sollte mit der Methode der kleines Quadrate kein Problem sein. Somit ist es, denke ich nicht so wichtig, ob das gleichungssystem unter oder überbestimmt ist. Evt. täusche ich mich aber auch.

die Werte für m und n liegen so bei 10, und die Werte von A und B liegen zwischen -1 und 1 irgendwie verteilt und ca 10 Kommastellen. Ein konkretes Beispiel mit Zahlen denke ich bringt hier nicht so viel.

Die Lösung kann auch angenähert sein, oder mit Matlab oder so berechnet werden.

Hoffe jemand weiss einen Tipp wie ich das ganze anstellen sollte.

gruss mimi
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh, also allgemein müßte man die Normalengleichungen ansetzen dürfen...




Nur hat x* da nicht unbedingt die geforderte Gestalt. Also ein Lösung habe ich spontan nicht parat, wenn du aber ein kleines Beispiel einstellst, würde ich weiter drüber nachdenken.

LG Wink
mimis Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel
Das lösen vom Gleichungssystem ist auch mit der QR-Zerlegung möglich. Also ohne die Bedingung an x habe ich ein Verfahren um das Gleichungssystem zu lösen. Ich weiss nun einfach nicht wie ich das System mit der zusätzlichen Bedingung an die x-Werte lösen soll.

Beispiel:





Hilft dir das weiter? Danke für deine Hilfe.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel
Ja, auch QR wäre denkbar. Danke für das Beispiel. Ich werde drüber nachdenken. Ich hatte da auch noch was falsch verstanden. Ich dachte für die Lösung x* muss gelten



Du meinst aber:



Offenes oder abgeschlossenes Intervall?
 
 
mimis Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich sollten die x-Werte zusammengezählt 1 ergeben und es darf kein wert negativ sein also . Das gleichungssystem kann jedoch so umgeformt werden, dass es eine unbekannte weniger hat und diese dann am schluss mit 1-(alle anderen Werte) berechnet wird. Daher müssen die x-werte grösser gleich 0 und kleiner gleich 1 sein. Verstehst du was ich meine?

gruss und danke mimi
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann ja noch eine wichtige Bedigung. Also gesucht ist






mimis Auf diesen Beitrag antworten »

genau.
Meine Idee war die Bedingung

so einzubinden, dass ich den Wert durch die vorangehenden x-Werte ausdrücke und dann das Gleichungssystem umforme, bis ich wieder die Form Ax=b erreichte. So habe ich diese Bedingung ins Gleichungssystem eingebunden.
mimis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine

Hast du irgendetwas herausgefunden?

gruss mimis
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, dass ich mich erst so spät melde. Leider hatte ich für dein Problem keine Zeit und werde sie voraussichtlich auch in nächster Zeit nicht haben. Vielleicht kann aber jemand anderes weiterhelfen.

LG,
tigerbine Wink
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