Vollständige Induktion

07.11.2007, 11:20

ThLu

Vollständige Induktion

Hi Leute habe folgende Aufgabe bekommen:

Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^3 = (\sum_{i=1}^n~i)^2 \end{eqnarray*}$

dann habe ich folgende Schritte gemacht:

1. Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} n=1 \Rightarrow 1^3 = (1)^2 = 1 (wahr) \end{eqnarray*}$

2. Indukstionsschritt:
$\begin{eqnarray*} Sei n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

a) Induktionsannahme:
$\begin{eqnarray*} 1+8+27+...+n^3 = (1+2+3+...+n)^2 \end{eqnarray*}$

b) Induktionsbehauptung:
$\begin{eqnarray*} 1+8+27+...+(n+1)^3 = (1+2+3+...+(n+1))^2 \end{eqnarray*}$

c) Beweis:
$\begin{eqnarray*} 1+8+27+...+ n^3+(n+1)^3 = (1+2+3+...+(n+1))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+2+3+...+ n)^2+(n+1)^3 = (1+2+3+...+(n+1))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^n~i)^2 + (n+1)^3 = (\sum_{i=1}^{n+1}~i)^2 \end{eqnarray*}$

ist damit schon alles bewiesen?

danke für antworten

gruß thomas

07.11.2007, 11:36

Gump

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ThLu!

Bewiesen hast du mit deiner Rechnung deine Formel noch nicht. Du musst schon noch die Gleichheit der beiden Seiten bei deinem letzten Ergebnis zeigen.

Ich würde aller dings etwas anders an die Aufgabe herangehen. Du kennst doch sicherlich den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ , oder?
Wenn du die Formel mit Hilfe dieser Formel beweist, ist es sicherlich einfacher.

Gruß

Gump

07.11.2007, 19:07

ThLu

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe ich nicht so ganz.

kannst du mir es zeigen?

07.11.2007, 19:21

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Generell würde ich die Summenschreibweise bevorzugen. Ist einfach übersichtlicher. Schauen wir uns nochmal an, was du zeigen willst:

$\begin{eqnarray*} 1+8+27+...+(n+1)^3 = (1+2+3+...+(n+1))^2 \end{eqnarray*}$

Dann der generelle Hinweis, den Induktionsbeweis nicht auf beiden Seiten gleichzeitig durchzuziehen, sondern versuchen von der linken Seite auf die rechte Seite durch elementare Umformungen und einsetzen der IV zu kommen. Also so zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}i^3=\sum_{i=1}^{n}i^3+(n+1)^3=\ldots \end{eqnarray*}$

Kannst du den Schritt nachvollziehen??? Nun kannst du die Induktionsvoraussetzung einsetzen. Was würde dann passieren? Wie kommst du auf die rechte Seite der "Zu zeigen" Seite???

07.11.2007, 19:26

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es didaktisch nicht sehr sinnvoll, dass ihr beide dem armen Kerl zwei verschiedene Wege praesentiert. Lasst ihn doch sein Ding durchfuehren. Ist zwar stilistisch nicht unbedingt das Gelbe vom Ei, aber korrekt ist es. Zumindest, wenn man vor jede Zeile noch ein Aequivalenzzeichen schreibt.

07.11.2007, 20:02

ThLu

Auf diesen Beitrag antworten »

genau

aber wie mache ich bei "meiner" induktion weiter?

07.11.2007, 20:11

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
So zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^n~i)^2 + (n+1)^3 = \left( \sum_{i=1}^{n}~i + (n+1)\right)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt die binomische Formel anwenden. Am Ende brauchst du uebrigens doch die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}. \end{eqnarray*}$

07.11.2007, 20:59

ThLu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
alles klar. ich bedanke mich Freude

08.11.2007, 23:47

ThLu

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn einer von euch den Gefallen tun und die vollst. Induktion komplett mit Summenzeichen schreiben bzw. den Beweis?

09.11.2007, 08:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Also den Gefallen werden wir dir nicht tun. Und im übrigen hast du schon einen Teil gerechnet:

Zitat:

Original von ThLu
$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^n~i)^2 + (n+1)^3 = (\sum_{i=1}^{n+1}~i)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch den Tipp von WebFritzi beherzigen:

Zitat:

Original von WebFritzi
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Für die Summe, die bis n+1 geht, lautet das natürlich: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1} i = \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du nur noch alles einsetzen und dann schauen, ob die beiden Seiten der Gleichung wirklich übereinstimmen.

10.11.2007, 18:31

ThLu

Auf diesen Beitrag antworten »

das habe ich ja ohne probleme hinbekommen...

nur ich weiss nicht wie das geschrieben wird (nur) mit summenzeichen alles

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen