Lineare Gleichungssystem mit rang, detimanten usw.

07.11.2007, 15:15

Kathi1984

Lineare Gleichungssystem mit rang, detimanten usw.

hallo,
habe ein riesen problem, da ich nicht weiß wie ich vorgehen soll.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -2 \\ k & 0 & 2-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \vec{x} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2+k \\ -2 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

k element der reele zahlen

a) für welche k ist das system lösbar?
b) für welche k ist das system unlösbar?
c) für welche k ist der rang der koeffizientenmatrix kleiner als 3? bestimmen sie für diesen fall die lösungsmenge!

kann mir da jemand weiterhelfen? ich komme einfach nicht weiter und weiß nicht womit ich anfangen soll. habe mir den formelsammlung von paula geholt und verstehe nicht womit ich anfangen soll. kann mir jemand da weiterhelfen? wäre für jede hilfe sehr dankbar...

07.11.2007, 18:13

WebFritzi

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RE: Lineare Gleichungssystem mit rang, detimanten usw.

Zitat:

Original von Kathi1984
habe mir den formelsammlung von paula geholt

Who the f... is Paula?

Wenn k so gewaehlt ist, dass die Matrix auf der linken Seite invertierbar ist, ist das System dann loesbar?

07.11.2007, 18:19

Kathi1984

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upps papula heißt das buch...

wie meinst du mit invertieren??? ich weiß nicht wie ich es machen soll...kannst mir auf die sprünge helfen?

07.11.2007, 18:34

WebFritzi

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OK, ich schreib dir jetzt etwas auf, das du bitte nicht wieder vergisst, denn sonst war meine Muehe umsonst, und darauf habe ich keinen Bock.

Sei A eine nxn-Matrix. Die Matrix A heisst invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt, so dass AB = BA = E gilt. Hier soll E die Einheitsmatrix darstellen. Die Matrix B heisst dann die "inverse Matrix" von A und wird mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Es gilt dann also

$\begin{eqnarray*} AA^{-1} = A^{-1}A = E. \end{eqnarray*}$

Eine solche inverse Matrix existiert nicht immer. Eben (per Definition) genau dann, wenn A invertierbar ist. Nun gilt weiter:

(*) A ist invertierbar genau dann, wenn die Determinante von A nicht Null ist.

So, das erstmal.

Es sei nun b ein n-zeiliger Vektor. Wir betrachten das System Ax = b. Ich behaupte jetzt: Wenn die Matrix A invertierbar ist, dann ist das System fuer jeden beliebigen n-zeiligen Vektor b (eindeutig) loesbar. Warum? Setze einfach $\begin{eqnarray*} x = A^{-1}b. \end{eqnarray*}$ Dann gilt naemlich

$\begin{eqnarray*} Ax = A A^{-1}b = Eb = b. \end{eqnarray*}$

So, jetzt musst du wegen (*) erstmal betrachten, fuer welche Werte von k die Determinante von A nicht Null ist. Genau dann ist A naemlich invertierbar und das System eindeutig loesbar.

07.11.2007, 19:05

klarsoweit

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RE: Lineare Gleichungssystem mit rang, detimanten usw.
Am besten ist hier wohl doch noch der Gauß-Algorithmus. Beispielsweise die Umformung:

3. Zeile mal (-2 ). Dann das k-fache der 1. Zeile zur 3. Zeile addieren. Dazu muß man allerdings schon den Fall k=0 und k <>0 unterscheiden.

07.11.2007, 19:29

WebFritzi

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RE: Lineare Gleichungssystem mit rang, detimanten usw.

Zitat:

Original von klarsoweit
Am besten ist hier wohl doch noch der Gauß-Algorithmus.

Das sehe ich anders. Naja, kommt drauf an, was mit "am besten" gemeint ist. Wenn du auf die Didaktik anspielst, hast du vielleicht sogar recht... Augenzwinkern

@Kathi: Probier's mal mit dem Gauss-Algorithmus. Mein Krams ist vielleicht zu viel auf einmal. Du kannst es dir ja aber evtl. trotzdem mal durchlesen. Schaden kann es nicht.

07.11.2007, 20:34

Kathi1984

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ok werde es so machen wie klarsoweit meint....und das mit gaußsche alg. aber meine frage ist, wie erkenne ich bzw wie soll ich behaupten ob bei a) lösbar und b) nicht lösbar und c)... ist?
zweitens wie bestimmt man eigentlich den rang A und rang S?hängt das von den nullen ab??

webfritzi werde aufjedenfall nachgucken...versuche mein bestes...

ich versuche es und morgen schreibe ich mal meine lösung hin, hoffe werde es richtig haben...

bis morgen, danke... Wink

08.11.2007, 15:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von Kathi1984
ok werde es so machen wie klarsoweit meint....und das mit gaußsche alg. aber meine frage ist, wie erkenne ich bzw wie soll ich behaupten ob bei a) lösbar und b) nicht lösbar und c)... ist?

Das klären wir dann. Führe erstmal den Gauß-Algorithmus durch, und rechne dabei mit k als wäre es eine Zahl.

08.11.2007, 16:13

Kathi1984

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also habe das so wie klarsoweit mir sagte gerechnet und bekam sowas herraus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 & 2+k \\ 0 & 2 & -2 & -2 \\ 0 & -k & 5k-4 & -k^{2}-4k \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

soll ich auch die zeile 2 mit 3 vertauschen? dann spalten tauschen....damit ich ein dreicheck bekomme? also die nullen? oder wie soll ich weiter vorgehen?
so wie es oben steht habe ich auf mein blatt stehen

09.11.2007, 20:15

Kathi1984

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also habe nochmal gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 2+k \\ 0 & 2 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 8k-8 & 2k^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (8k-8)\cdot x_3 = 2k^2 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ umgeformt

ergibt:

$\begin{eqnarray*} x_3 = \frac{2k^2}{4k-4} \end{eqnarray*}$

Fragen:

* also darf keine k=1 weil unter dem bruch eine 0 ergibt und das darf nicht sein, weil unendliche viele lösungen gibt(???????????)
und für k ungleich 1 gibt eine eindeutige lösung
* wenn ich $\begin{eqnarray*} 8k-8 = k^2 \end{eqnarray*}$ nach k auflöse (also mi pq formel usw), also ergibt mir 2 lösungen : $\begin{eqnarray*} k_1=4+\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2=4-\sqrt{8} \end{eqnarray*}$

also im großen und ganzen zur welche meiner aufgaben sind meine lösungen(bin total durcheinander) zur a) b) und c) zuorden..???
naja c) wusste nicht mehr wie ich das lösen soll

hoffe mir kann jemand weiterhelfen

09.11.2007, 21:18

Kathi1984

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kann mir keiner weiterhelfen???? wäre sehr dankbar...

11.11.2007, 14:54

Kathi1984

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kann mir wirklich niemand weiterhelfen???bitte es ist sehr wichtig

11.11.2007, 15:39

klarsoweit

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Bis auf die erste Null ist die 3. Zeile falsch. Rechne nochmal genau.