Häufungspunkte von Teilmengen des R^2

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Remington Steele Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte von Teilmengen des R^2
Hi,

habe folgendes Problem und komme wenig weiter verwirrt .

a) {x Element R^2 | ||x|| = 0 oder ||x|| = 1}
b) {(1, 1/n) | n Element N} u {(1,0)}

(u := vereinigt)

Ich weiß einfach nicht, wie ich da rangehen soll - auch mit Büchern ist's einfach schwer. Hilfe Danke schonmal...

Gruß
Stefan
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sag hier doch mal bitte, was du unter einem Häufungspunkt verstehst. Mir ist schon klar, was ein Häufungspunkt ist - mir geht es nur darum, dass DU es weißt und auch verstehst.
Remington Steele Auf diesen Beitrag antworten »

Sei a Element aus einer Teilmenge M eines topologischen Raumes X. Man sagt a ist Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von a ein Punkt von M liegt, der von a verschieden ist.

(s. Wickipedia Augenzwinkern ). Die Def. aus unserer Vorlesung blicke ich natürlich wieder 0, aber das oben klingt ja schon viel besser.

Daher würde ich z.B. denken, daß bei a) durch
Betrag x = 0
folgendes in der Menge liegt:
x1 = 0 und x2 = 0
und durch Betrag = 1
x1 = 0 und x2 = 1
oder
x1 = 1 und x2 = 0
oder
x1 = 0 und x2 = -1
oder
x1 = -1 und x2 = 0.

Somit würde ich denken, daß x1 und x2 = 0 ein Häufungspunkt ist (da ja z.B. von (0, 1) und (0, -1) umschlossen. Aber keine Ahnung ob das so stimmt verwirrt .
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Remington Steele
Was ist denn überhaupt die Aufgabe?? die Häufungspunkte zu bestimmen oder wie?
Und soll das in a) eine Norm sein? Wenn ja, welche?
Remington Steele Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, man soll die Häufungspunkte bestimmen. Was meinst Du mit Norm? || x || soll einfach den Betrag darstellen, meintest Du das?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Den Betrag kenne ich eigentlich durch |x|, wohingegen ||x|| meistens eine Norm darstellt. Mir ist auch nicht ganz klar, wie denn der Betrag für ein Paar zweier reeller Zahlen definiert ist, kannst die Definition mal nennen?
 
 
Remington Steele Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist laut unserer Vorlesung einfach Wurzel aus (x1 zum Quadrat + x2 zum Quadrat).

Der Prof laberte auch irgendetwas, daß er den Betrag halt so schreibt, auch wenn man in normalerweise nur mit einem Betragsstrich schreibt smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, nagut das hätte ich eher als Norm bezeichnet, was ja die Schreibweise ||x||, wie gesagt, auch anzeigt. Egal.
Für ||x||=1 sind deine Beispele nur Spezialfälle. Sei ein Element aus , also , d.h. wenn du in einem zweidmensionalen Koordinatensystem auf der Abszisse und auf der Ordinate abträgst, hast du den Einheitskreis. Für ||x||=0 muss auch gelten. Wir nehmen uns jetzt mal ein xy-Koordinatensystem, da wir aber x schon verbraucht haben, nennen wir es einfach mal ab-Koordinatensystem. Dann ist deine Menge also



und das ist grade die Peripherie des Einheitskreises plus den Nullpunkt. Das mal als Veranschaulichung. Und zu den Häufungspunkten: Welche Definition habt ihr denn aufgeschrieben?
Nach der Wiki-Definition soll also in jeder Umgebung von dem Paar (a,b) ein anderes Paar (c,d) liegen, das ebenfalls in deiner Menge liegt. Dass (c,d) in einer -Umgebung um (a,b) bedeutet, wenn ich das richtig verstanden habe, soviel wie, dass c und d komponentenweise in der -Umgebung von a und b liegen. Und jetzt überleg doch mal, für welche x deiner Menge das gilt!
Remington_Steele Auf diesen Beitrag antworten »
Re
verwirrt Hm, verstehe nicht so ganz, worauf Du hinaus willst, würde eigentlich nur darauf kommen, auf was ich vorher gemeint habe, oder war das falsch?

Zur Defintion *noch 'mal nachseh*

Sei E c |R^n, E ist nicht leer.
x Element |R^n heißt Häufungspunkt von E, falls
für alle epsilon > 0 existiert ein y Element E \ {x}: ||x-y|| < epsilon

(c := Teilmenge, |R := reelle Zahlen)

(sorry muß mir auch 'mal die Formelschreibweise aneignen, nur jetzt in der Nacht ist das zuviel...).

Danke für Deine Mühe...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mir scheint es gerade so, als würdest du sagen, in der Menge liegen nur . Das ist aber falsch! Z.B. liegt auch in der Menge. Für jede reelle Zahl r mit liegen und auch in der Menge, die Menge enthält also unendlich viele (sogar überabzählbar viele) Elemente! Ich denke, das war dir wohl noch nicht klar oder?
Remington Steele Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Info (sorry bei mir kam irgendwie keine E-mailbenachrichtigung an).

Hm ja, mir ist so einiges noch nicht ganz klar Augenzwinkern verwirrt . Manchmal glaube ich auch, daß ich zu dumm zum Sch... bin unglücklich .

Also mit "Menge" meintest Du jedenfalls Menge der Häufungspunkte oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Damit meine ich deine Ausgangsmenge



!!
Remington Steele Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, sorry ich hoffe es nervt nicht, aber könntest Du mir dann vielleicht evtl. - sofern Du es weißt - die Häufungspunkte sagen?

Muß das Blatt morgen abgeben und hab' für heute die Faxen dicke traurig unglücklich Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

So kriegst du mich nich rum Augenzwinkern
Also nochmal, nimm dir ein Paar reeller Zahlen . Damit es in der Menge liegt, muss es einen Punkt auf dem Einheitskreis im Koordinatensystem darstellen oder der Nullpunkt sein. Hier is deine Menge, wobei auf der x-Achse die Zahl und auf der y-Achse die Zahl abgetragen werden muss. Den Nullpunkt musst du dir dazu denken.



Und jetzt überleg mal: Wenn ein Punkt nicht auf dem Kreis liegt, kann er dann ein Häufunspunkt sein?? Findet man also für jedes Quadrat mit noch so kleiner Seitenlänge, was diesen Punkt als Mittelpunkt hat, noch Punkte auf dem Kreis, die da drin liegen? Das ist ja grad die Frage nach den Häufungspunkten. Wenn ja, dann ist es ein Häufungspunkt, wenn nein, dann ist es keiner.
Und wie sieht das aus für Punkte auf der Kreislinie? Findet man hier für jedes Quadrat mit noch so kleiner Seitenlänge, was diesen Punkt als Mittelpunkt hat, noch Punkte auf dem Kreis, die da drin liegen?
Remington Steele Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Erklärung, ich muß mir das nochmal zu Gemüte führen Augenzwinkern ... heieiei ist das kompliziert...
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