Induktionsprinzip II

07.11.2007, 17:26

aRo

Induktionsprinzip II

Hallo!

Auf unserem Aufgabenblatt steht plötzlich etwas von Induktionsprinzip II. Das Ganze wurde in der Vorlesung (noch) nicht eingeführt und ist mir so unbekannt.
Jedenfalls ist die Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe des Induktionsprinzip II die folgende Aussage:
Jede natürliche Zahl n lässt sich mit Hilfe eines k>=0 und eines ungeraden q aus N von der Form $\begin{eqnarray*} n = 2^k \cdot q \end{eqnarray*}$ darstellen.

Interessant ist natürlich der Induktionsschritt.
Nach Behauptung existiert ein $\begin{eqnarray*} q \cdot 2^k | q=2m+1, k \geq 0, m\in \mathbb N\cup\lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ so dass sich n+1 darstellen lässt.

Ich weiß zwar nicht wirklich, was jetzt Induktionsprinzip II sein soll, aber ich habe mir das ganz einfach mal so gedacht:
$\begin{eqnarray*} q \cdot 2^k = (2m+1)2^k \end{eqnarray*}$
Wähle ich k=0 lässt sich jede ungerade Zahl aus N darstellen.
Wähle ich m=0 und sei k aus N so kann ich jede gerade Zahl darstellen.

....kommt mir ein bisschen zu simpel vor. Vielleicht kann mir jemand mal erklären, was dieses I 2 heißen soll.
Danke smile

07.11.2007, 17:31

tmo

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RE: Induktionsprinzip II

Zitat:

Original von aRo

Wähle ich m=0 und sei k aus N so kann ich jede gerade Zahl darstellen.

sicher?

edit:

ich hab ehrlich gesagt auch noch nie von einem Induktionsprinzip II gehört, aber ich könnte es mir so vorstellen:

für ungerade zahlen ist der beweis sehr einfach, wie du schon gezeigt hast.

gerade zahlen kann man solange durch 2 teilen, bis sie irgendwann ungerade werden.
hat man k mal durch 2 geteilt und die ungerade zahl, die übrig bleibt, sei q, so gilt $\begin{eqnarray*} n = 2^k \cdot q \end{eqnarray*}$

das müsstest du natürlich dann formal beweisen. ist ja so ne art induktion.

07.11.2007, 17:39

Fightclub

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Darf ich kurz eine Prognose abgeben?
Erstes Semester Informatik an der RWTH, Analysis für Informatiker? Wink

Sitze nämlich an haargenau der selben Aufgabe verwirrt

Was dieses ominöse Induktionsprinzip 2 ist konnte unsere Tutorin uns leider auch nicht genau erklären.
Das einzige was ich rausgefunden habe ist, dass der Induktionsanfang wohl der selbe ist, wie für die vollständige Induktion. Wie kommst du denn auf deinen Induktionsschritt?

07.11.2007, 17:45

aRo

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hehe du hast recht Augenzwinkern

@tmo:
Da habe nich natürlich wieder großen Mist verzapft. Deine Überlegungen klingen gut. Ich werde mal sehen, wie das so mit dem formalen Beweis hinhaut und mich gleich wieder melden smile

07.11.2007, 18:01

cst

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*ideehab* Vielleicht ist mit Induktionsprinzip II ja gemeint:

2 Induktionsanfänge, einer für n=2 und einer für n = 4.
Induktion: Schluss von $\begin{eqnarray*} n=n_0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} n = n_0 + 4 \end{eqnarray*}$

lg
cst

07.11.2007, 18:23

aRo

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@cst:
glaube ich eigentlich nicht. Ich denke auch beim Induktionsprinzip II reicht ein Induktionsanfang aus. Aber vielleicht hast du ja irgendwie doch recht.

Also wir sind immernoch dabei das ganze auch für gerade Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu beweisen.
tmos Ansatz ist schon wieder so logisch, dass ich mich wieder gerne schwer tu so etwas zu beweisen.
Also sei n gerade und nach Voraussetzung gilt: $\begin{eqnarray*} n = 2^k \cdot q \end{eqnarray*}$ , dann ist das äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2^k}=q \end{eqnarray*}$ , wo wir sehen, dass dieses q eben durch die Division unserer Zahl n durch eine beliebig hohe 2er Potenz entsteht.

So jetzt gehts im Prinzip nur noch darum das vernünftig hinzuschreiben.
Können wir nicht einfach so was machen.
Sei $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ dann lässt sich n durch 2p darstellen.
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{2p}{2^k}=q \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{p}{2^{k-1}}=q \end{eqnarray*}$
Könnte man nun nicht einfach o.B.d.A annehmen, dass p ungerade ist (wenn nicht, dann variiert man k eben). Und da q auch beliebig ungerade ist (aus N natürlich) wäre die Aussage korrekt...

07.11.2007, 19:34

cst

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Mein Ansatz funktioniert auch nur für gerade Zahlen n. Aber egal, war sowieso nicht das gesuchte.

Was mit Induktionsprinzip II gemeint ist, steht hier auf Seite 36.

Wink

cst

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