Summe der ersten 26 natürlichen Zahlen

15.04.2005, 17:47	Kriegerlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe der ersten 26 natürlichen Zahlen Hi. Bin erst in der 7. Klasse, und habe eine Frage, und zwar, wie rechnet man folgendes kurz aus : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26 Gibt doch bestimmt einen kürzeren Rechenweg, oder? edit: Titel geändert, "brauche Hilfe" ist sicherlich der schlechteste Titel, den man nehmen kann. Da kanns du mir nicht erzählen, dass dir nichts besseres einfällt!? (MSS)
15.04.2005, 17:52	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da gibt es was kürzeres in der Tat. Guck doch mal nach was passiert wenn du immer Paare bildest. Und zwar addierst du zur ersten die erste von hinten zur zweiten die zweite von hinten. Da sollte dir eigentlich etwas auffallen. Und dann guckst du mal noch wieviele solche Paare du bilden kannst.
15.04.2005, 17:56	Kriegerlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, und wieder was dazu gelernt.
15.04.2005, 18:09	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
die formel für die sog. dreieckszahlen lautet: 1+2+3+...+n=n/2*(n+1) wenn du immer die erste und die letzte addierst, erhälst du für jeden summand (n+1), das ganze machst du n/2 mal (du näherst dich von beiden seiten gleichzeitig der mitte)
15.04.2005, 18:15	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ja, klein Gauss lässt grüßen..... Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen lässt sich also verkürzt schreiben: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k = \frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ gruß swerbe
15.04.2005, 18:31	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
erstens war ich zu faul für latex^^, hier gehts ja auch ohne und zweitens wusste ich nicht, ob man in der 7. kl schon das summenzeichen kennt...
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15.04.2005, 18:36	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schieben wir doch noch für die Spezialisten die die tolle Formel ausgekramt haben was nach: Die Idee mit den Paaren klabt ja offensichtlich nur für n gerade. Warum gilt die Formel denn jetzt auch für ungerade n? oder tut sie das am Ende garnicht?
16.04.2005, 00:33	dast	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze funktioniert auch für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und zeigen lässt sich dies recht einfach mittels Induktion: Annahme: $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade, d.h. $\begin{eqnarray} n - 1 \end{eqnarray}$ gerade (sollte klar sein) $\begin{eqnarray} 1 + 2 + 3 + 4 + (n - 1) + n = \sum_{k=1}^{n - 1} k + n \end{eqnarray}$ Für gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hast du ja gesehen, wie die Formel durch bilden von Paaren ensteht, oder? D.h. wir können nun unsere Formel statt dem Summengebilde einsetzen (bei der Induktion heisst das wir setzen unsere Induktionshypothese ein) und das ganze ausrechnen. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n - 1} k + n = \frac{(n - 1) \cdot \left((n - 1) + 1\right)}{2} + n = \frac{(n - 1) \cdot n}{2} + n = \frac{n^2 - n}{2} + \frac{2 \cdot n}{2} = \frac{n^2 - n + 2 \cdot n}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \end{eqnarray}$ Siehe da, die selbe Formel!

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