kubische Kostenfunktion

07.11.2007, 23:47

Christofer

kubische Kostenfunktion

So neue Woche neues Aufgabenblatt Big Laugh

... und schon wieder hänge ich wo ...

diesmal geht es um Kostenfunktion, die ersten Aufgaben konnte ich noch relativ einfach lösen, aber nun ist eine kubische Funktion gegeben

$\begin{eqnarray*} K(x) = x^{3} - 11x^{2} + 44x + 46 \end{eqnarray*}$

man soll das Betriebsoptimum berechnen also zuerst mal $\begin{eqnarray*} K(quer) = \frac{K(x)} {x} \end{eqnarray*}$ diese leitet man dann ab und erhält

$\begin{eqnarray*} K'(quer) = 2x - 11 -\frac{46} {x^{2}} \end{eqnarray*}$

das muss ich dann Null setzen aber, wie soll ich das den bitte auflösen?

08.11.2007, 00:17

tigerbine

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RE: kubische Kostenfunktion
Kleiner Tipp: Wir sind kein BWL Forum. Ein Link zu den Begriffen ist hilfreich. Denn mathematisch ist es oft Schulstoff.

Betriebsoptimum, Stückkosten,
Grenzkosten

Nun hast Du es ja schon gut angefangen.

$\begin{eqnarray*} K(x) = x^3-11x^2+44x+46 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K'(x) = 3x^2-22x+44 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(x) := \frac{K(x)}{x} = x^2-11x+44-\frac{46}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k'(x) =2x-11+\frac{46}{x^2} \end{eqnarray*}$

"2" Lösungsmöglichkeiten

$\begin{eqnarray*} k'(x) \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K'(x) \stackrel{!} = k(x) \end{eqnarray*}$

Die Berechnung

$\begin{eqnarray*} 0=2x-11+\frac{46}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2x^3-11x^2+46 \end{eqnarray*}$

Da muss dann wohl Cardano oder ein Näherungsverfahren ran...

Quelle: Arnd Bruenner

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Lösen der kubischen Gleichung    2x³ - 11x² + 46 = 0 
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Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit 2 auf die Normalform 
x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht. 

   x³ - 5,5x² + 23  = 0

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form 
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt. 

   (y + 1,8333333333333333)³ - 5,5(y + 1,8333333333333333)² + 23 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

   p = s - r²/3 = -10,083333333333334
   q = 2r³/27 - rs/3 + t = 10,675925925925926

   y³ - 10,083333333333334y + 10,675925925925926  = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

   p = -10,083333333333334            q = 10,675925925925926

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden. 

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen, 
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen, 
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen. 

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen. 

Im Falle dieser Gleichung ist R = -9,476851851851858. 

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist, 
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt. 

   cos(w) = -0,8662659654395191   u = 6,162037037037037

   y  = 2,3564372195154113
    1
   y  = -3,6110638691597887
    2
   y  = 1,2546266496443765
    3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht. 
r=-5,5 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung. 
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

   x  = -1,7777305358264561
    1
   x  = 3,087959982977712
    2
   x  = 4,189770552848745
    3

09.11.2007, 15:47

Christofer

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danke konnte es lösen werde in Zukunft immer die betriebswirtschaftlichen Bezeichnungen verlinken

unsere Aufgaben sind halt immer so betriebswirtschaftlich formuliert. vom dieswöchigen Aufgabenblatt habe ich bereits einen Großteil gelöst. Aber eine Aufgabe mit dieser kann nicht viel anfangen ... handelt sich um eine betriebswirtschaftliche Interpretation

Geometrisch entspricht den Stückkosten die Steigung
einer Geraden durch den Ursprung und einen Punkt der Kostenkurve K. Begründe dies und versuche inhaltlich zu erklären, warum das Betriebsoptimum genau an der Stelle liegt, wo die Gerade durch den Ursprung zu Tangente wird.

vor allem den ersten Satz verstehe ich nicht ... irgendwie stimmt da die Satzstellung nicht Big Laugh

edit:
dann hab ich noch eine Aufgabe die ich schon fast bis zum Schluss gelöst habe aber wieder das Problem mit der Potenz hoch 3 auftrit

also man soll das Betrieboptimum K(quer)' berechnen unter Verwendung folgender Funktion

K' = K(quer)

Grundfunktionen: $\begin{eqnarray*} K(x) = x^{3} - x^{2} + 4x + 5 \end{eqnarray*}$

wenn ich die beiden Ausdrücke jetzt gleich setze gehe ich so vor

$\begin{eqnarray*} 3x^{2} - 2x + 4 = x^{2} - x + 4 + 5/x \end{eqnarray*}$

wenn ich dann weitere Rechne erhalte ich durch Kürzen bzw. Multiplizieren des Bruches folgendes

$\begin{eqnarray*} 2x^{3} - x^{2} = 5 \end{eqnarray*}$

nur was soll ich da jetzt weitermachen? x^{2} herausheben? oder 0 setzten und dann die Näherungsmethode? check diese kubischen Funktionen net unglücklich

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