Ebenenscharen (Verständnisproblem)

08.11.2007, 12:44

Musti

Ebenenscharen (Verständnisproblem)

Hallo hab ein Verständnisproblem bei ner Aufgabe.

Gegeben ist eine Schar von Ebenen $\begin{eqnarray*} E(k): x-2y+kz=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

a) Untersuchen Sie, ob es zu jeder Ebene $\begin{eqnarray*} E(k) \end{eqnarray*}$ eine auf ihr senkrechte Ebene $\begin{eqnarray*} E(h) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt. Ermitteln Sie $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , bestimmen Sie die zugehörigen Ebenengleichungen und ermitteln Sie für diese Ebenen die Spurgeraden in den drei Koordinatenebenen.

Das Problem dass ich habe ist, dass ich auch eine Ebene ohne den Parameter $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ habe der zu jeder Ebene $\begin{eqnarray*} E(k) \end{eqnarray*}$ senkrecht ist, dazu bilde ich einen orthogonalen Vektor zu der Ebene $\begin{eqnarray*} E(k) \end{eqnarray*}$ . Z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ich würde auf die Koordinatengleichung $\begin{eqnarray*} 2x+y=5 \end{eqnarray*}$ kommen.

Wenn ich das so mache, kann ich kein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bestimmen für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ .

Wo also liegt mein Fehler?

Danke

08.11.2007, 12:52

mYthos

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Zitat:

Original von Musti
...
dazu bilde ich einen orthogonalen Vektor zu der Ebene $\begin{eqnarray*} E(k) \end{eqnarray*}$ . Z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
...

Der zur Ebene orthogonale Vektor ist schon nicht richtig. Big Laugh

Er lautet ganz einfach

$\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

08.11.2007, 12:54

Musti

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Wieso denn, Mythos?
Ich dachte, dass zwei Ebenen dann orthogonal sind wenn ihre Normalenvektoren orthogonal zueinander sind?

Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=2-2+0=0 \end{eqnarray*}$

Was habe ich falsch gemacht?

08.11.2007, 12:57

mYthos

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Deine Aussage, die ich oben nochmals zitiert habe, stimmt einfach nicht. Von einem Normalvektor einer zu E_k senkrecht stehenden Ebene hast du dort (noch) nicht gesprochen.

Erst E_h hat den von dir angesprochenen Normalvektor.

mY+

08.11.2007, 12:59

Musti

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Ok, da hast du recht. Ich müsste sagen, ich nehme einen orthogonalen Vektor zum Normalenvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} E(k) \end{eqnarray*}$ . Habe mich in der Eile halt falsch ausgedrückt. Sorry

Kannst du mir nun was zu meinen Problem sagen?

08.11.2007, 13:09

mYthos

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Warum nimmst du einen speziellen Normalvektor und nicht den allgemeinen, von k abhängigen?

Alle Normalvektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{h} = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Ebenen $\begin{eqnarray*} E_h \end{eqnarray*}$ genügen der Beziehung

$\begin{eqnarray*} h_1 - 2h_2 + kh_3 = 0 \end{eqnarray*}$

mY+

Übrigens: Wo kommt die 5 in deiner Koordinatengleichung her? Ist die Angabe vollständig?

08.11.2007, 13:15

Musti

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Also ich verstehe nicht ganz?

Sieht meine Ebene $\begin{eqnarray*} E(h) \end{eqnarray*}$ dann so aus?

$\begin{eqnarray*} h_1x_1+h_2x_2+h_3x_3=d \end{eqnarray*}$ oder wie?

Ich habe mir einen Punkt aus der Ebene E(k) herausgepickt und diesen zum gemeinsamen Punkt mit der Ebene E(h) gemacht, falls man das überhaupt darf. Augenzwinkern

08.11.2007, 13:19

mYthos

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Ja, schon so, allerdings musst du noch o.a. Bedingung einarbeiten. Damit entsteht eine 2-parametrige (mit k sogar 3-parametrige) Schar dieser Normalebenen.

Übrigens: Ist die Angabe vollständig? Wo kommt die 5 in deiner Koordinatengleichung her?

So, nach deinem Edit klar.

Allgemein ist (wenn z.B. h2 = s, h3 = t gewählt): h1 = 2s - kt

mY+

08.11.2007, 13:23

Musti

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Dann stellt sich bei mir noch folgende Frage.
Wie komme ich das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ? der Ebene $\begin{eqnarray*} E(h)? \end{eqnarray*}$
Wie berechne ich h für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , zumal es ja jetzt $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_3 \end{eqnarray*}$ zu berechnen gibt?

Wie ich auf die 5 komme habe ich als Edit in meinem letzten Beitrag eingefügt.

08.11.2007, 13:29

mYthos

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Das d hängt natürlich von dem Punkt ab, den du "herauspickst", denn durch diesen gehen ja die Ebenen. Kann auch der Nullpunkt sein, dann ist d = 0

mY+

08.11.2007, 13:32

Musti

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Du hast es mir jetzt allgemein hingeschrieben wie ich h berechne.
Ich könnte jetzt allerdings $\begin{eqnarray*} h_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2=1 \end{eqnarray*}$ wählen, wenn $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ist? Danach berechne ich $\begin{eqnarray*} h_3 \end{eqnarray*}$ und hab eine senkrechte Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ zur Ebene $\begin{eqnarray*} E(k=1) \end{eqnarray*}$ oder?

08.11.2007, 13:37

mYthos

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Ja, so sehe ich das auch.
(Ich finde dennoch die Angabe etwas ungewöhnlich)

mY+

08.11.2007, 13:40

Musti

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Was meinst du warum es sich bei mir um ein Verständnisproblem handelt.
Aber genau so steht die Aufgabe dort.
Mein Lehrer fand sie auch ungewöhnlich, nur bei ihm weiß man nicht genau weil er viele Fehler macht.
Ich danke dir Mythos smile

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