Maßintegral

08.11.2007, 17:09	r4nt4npl4n	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßintegral Hallo leute !!!! Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \mu_{Z}: \mathcal P(\mathbb N) \to [0,\infty] \end{eqnarray}$ das Zählmaß auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} f : \mathbb N \to \mathbb R \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} $$f(n):= \frac{1}{n(n+1)}$$ \end{eqnarray}$ definiert. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \int \mathrm f ~\mathrm d\mu_{Z} \end{eqnarray}$ Aaalso zuerst mal haben wir das Zählmaß wie folgt definiert: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine beliebige Menge. Für $\begin{eqnarray} A \subseteq X \end{eqnarray}$ setzen wir $\begin{eqnarray} \mu(A)=\begin{cases} card A, & \text{falls }A\text{ endlich}\\+\infty & \text{sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ Die dadurch definierte Funktion $\begin{eqnarray} \mu: \mathcal P(X) \to [0,\infty] \end{eqnarray}$ ist ein Zählmaß. Ok und nach der Vorlesung gilt: $\begin{eqnarray} \int \mathrm f ~\mathrm d\mu_{Z} = \sum_{c \in f(X)} c \mu_{Z}(f^{-1}(\{c\})) \end{eqnarray}$ Habe mich also an den Beweis versucht: $\begin{eqnarray} f(X)=\frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac {1}{20}, \frac{1}{30}, ... \end{eqnarray}$ Daraus folgt nun: $\begin{eqnarray} \sum_{c \in f(X)} c * \mu_{Z}(f^{-1}(\{c\})) = \frac{1}{2}1 + \frac{1}{6}2 + \frac{1}{12}3 + ... = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = \infty \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \int \mathrm f ~\mathrm d\mu_{Z} = \infty \end{eqnarray}$ Ist es soweit richtig oder muss ich den Beweis anders angehen? lg r4nt4npl4n
08.11.2007, 20:56	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maßintegral Wie berechnest du für c das folgende: $\begin{eqnarray} \mu_{Z}(f^{-1}(\{c\})) \end{eqnarray}$ Ist das nicht immer gleich 1 hier ? Grüße Abakus
08.11.2007, 22:40	r4nt4npl4n	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Abaskus du meinst also, dass das Urbild von c immer eine natürliche Zahl ist. Die müsste dann doch im Zählmaß das Maß 1 haben Also $\begin{eqnarray} \sum_{c \in f(X)} c \mu_{Z}(f^{-1}(\{c\})) = \frac{1}{2} * 1 + \frac{1}{6} * 1 + \frac{1}{12} * 1 + \frac{1}{20} * 1 + ... = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 \end{eqnarray}$ Also ist das Integral $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray*}$ ?? lg

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