Ungleichung(Induktionsbeweis)

08.11.2007, 20:30

Oskimo

Ungleichung(Induktionsbeweis)

Hallo zusammen,
ich möchte gerne folgende ungleichung beweisen mittels völlständiger induktion:

$\begin{eqnarray*} 3^n>n^3 \end{eqnarray*}$

ich bin nun folgendermaßen vorgegangen.

ich hab erst den induktionsschluss gemacht, und dann eingesetzt

$\begin{eqnarray*} 3^(n+1)>(n+1)^3 <=> 3^(n+1)>3*n^3>(n+1)^3 <=> 3^(n+1)>2n^3>3n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$

hier komm ich nicht weiter. was kann ich jetzt machen?
danke

08.11.2007, 20:45

aRo

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also so ganz blick ich bei dir leider nicht durch.
Du hast auch die Äquivalenz etwas missbraucht.
Wieso ist denn
$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} > (n+1)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 3^{n+1} > 3 \cdot n^3 \end{eqnarray*}$
?

Also am besten macht man sowas so:
Du nimmst dir die linke Seite und ersetzt dort n durch n+1, also
$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$
so, jetzt weißt du dass das wiederum gleich $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3^n \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt kannst du deine Induktionsvoraussetzung anwenden, woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} 3^{n+1} >3 \cdot n^3 \end{eqnarray*}$ , das steht ja auch so bei dir irgendwie auf einmal dort.

Jetzt musst du die $\begin{eqnarray*} 3n^3 \end{eqnarray*}$ vernünftig abschätzen um auf dein Ergebnis zu kommen.

08.11.2007, 21:22

Oskimo

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hmm, ja stimmt da sollte eher sowas hin wie ein folgepfeil,
ich hab in dem schritt einfach n+1 eingesetzt.

mein eigentliches problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich dann $\begin{eqnarray*} 3^(n+1)>n^3 \end{eqnarray*}$ umformen damit sofort klar ist, was größer als was ist.

08.11.2007, 21:38

tmo

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erstmal gilt die ungleichung gar nicht für alle natürlichen zahlen, sondern nur für n>3 sowie 1 und 2.

für 1 und 2 beweist du es am besten durch einsetzen und für n > 3:

$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} = 3\cdot3^n > 3n^3 = (\sqrt[3]{3}n)^3 \end{eqnarray*}$

nun musst du nur noch beweisen: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}n \geq n+1 \end{eqnarray*}$ für n > 3.

schätze dazu die 3te wurzel aus 3 geeignet ab.

08.11.2007, 21:40

aRo

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so ganz verstehe ich deine Frage leider nicht.

$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} > n^3 \end{eqnarray*}$ schreibst du so da auch nicht hin. Du willst doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 3^{n+1} > (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ ist, da kämst du so ja nicht hin.
Du musst vielmehr deine Induktionsvoraussetzung einsetzen!
Also:
$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} > 3 \cdot n^3 \end{eqnarray*}$
verstehst du den Schritt?
Danach musst du durch Abschätzungen/Umformungen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 3n^3 > (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ ist. Aber Achtung, das gilt nicht für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ !!!

08.11.2007, 22:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} = 3\cdot3^n > 3n^3 = (\sqrt[3]{3}n)^3 \end{eqnarray*}$

nun musst du nur noch beweisen: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}n \geq n+1 \end{eqnarray*}$ für n > 3.

schätze dazu die 3te wurzel aus 3 geeignet ab.

So kompliziert muß es gar nicht sein. Mit etwas Überlegung zeigt man relativ leicht:
$\begin{eqnarray*} n^3 \geq 3n^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^3 \geq 4n \end{eqnarray*}$ .

11.11.2007, 22:29

L.i.t.t.l.e.

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Zitat:

Original von tmo
erstmal gilt die ungleichung gar nicht für alle natürlichen zahlen, sondern nur für n>3 sowie 1 und 2.

für 1 und 2 beweist du es am besten durch einsetzen und für n > 3:

$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} = 3\cdot3^n > 3n^3 = (\sqrt[3]{3}n)^3 \end{eqnarray*}$

nun musst du nur noch beweisen: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}n \geq n+1 \end{eqnarray*}$ für n > 3.

schätze dazu die 3te wurzel aus 3 geeignet ab.

Noch eine kleine Frage: Wo liegt hier mein Fehler?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3} n \geq n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3} n - n \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n ( \sqrt[3]{3} -1 ) \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{1}{\sqrt[3]{3} -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq ~ 2,26 \end{eqnarray*}$

12.11.2007, 08:41

klarsoweit

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Einen Fehler sehe ich da nicht. Prinzipiell stellt sich aber die Frage, ob ihr die 3. Wurzel schon definiert habt. Nur dann kann man sie auch verwenden.

12.11.2007, 09:01

L.i.t.t.l.e.

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Ich seh da eigentlich auch keinen Fehler drin, aber die Gleichung sollte ja nicht für n=3 gelten..

Dritte Wurzel haben wir schon definiert (hoch 1/3). Oder meinst du was besonderes?

12.11.2007, 09:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
Ich seh da eigentlich auch keinen Fehler drin, aber die Gleichung sollte ja nicht für n=3 gelten..

Also erstmal ist das eine Ungleichung, und zweitens bezieht sich diese Aussage auf die zu beweisende Aussage $\begin{eqnarray*} 3^n > n^3 \end{eqnarray*}$ .

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