Ungleichung mit 3.binom.Formel zeigen

08.11.2007, 21:34

Mulder

Ungleichung mit 3.binom.Formel zeigen

Hallo,

sorry erstmal für die Überschrift, was prägnanteres fiel mir nicht ein.

Aber zur Sache. Folgende Aufgabe wurde uns gestellt:

Seien x,y Elemente der reellen Zahlen und 0<x sowie 0<y

Nun sollen wir folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} x^2 > y^2 <=> x > y \end{eqnarray*}$

Zeigen sollen wir dies - und das ist das eigentliche, was mich nun verwirrt - über die dritte binomische Formel. Zumindest wurde uns dieser Tip gegeben. Tja un nun starre ich seit Stunden auf die dritte binomische Formel und warte vergebens auf eine Eingebung. Augenzwinkern

Da das ja äquivalent ist, muss ich es wohl in beide Richtungen zeigen, denke ich. Wäre zumindest am einfachsten...

Wäre für einen kleinen Ansatz dankbar. smile

08.11.2007, 21:40

tmo

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$\begin{eqnarray*} x^2>y^2 \Leftrightarrow x^2-y^2 > 0 \end{eqnarray*}$

in manchen lehrbüchern ist das sogar die definition von a > b

08.11.2007, 21:46

Mulder

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Hallo tmo,

Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} x^2>y^2 \Leftrightarrow x^2-y^2 > 0 \end{eqnarray*}$

Soweit war ich auch schon (dann weiß ich ja, dass das schon mal nicht so falsch war smile

), nur ist mir immer noch nicht so ganz der Zusammenhang mit der dritten binom. Formel klar. unglücklich

08.11.2007, 21:47

tmo

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da steht $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ .

was liegt da denn näher als die 3. binomische formel?

08.11.2007, 22:00

Mulder

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Zitat:

was liegt da denn näher als die 3. binomische formel?

Tja, also... öhm... Augenzwinkern

Gut, sagen wir mal, man hat dann das da stehen:

$\begin{eqnarray*} (x-y) (x+y) > 0 \end{eqnarray*}$

Da dies nur erfüllt ist, wenn beide Faktoren >0 sind, springt einem das ja in's Gesicht, stimmt schon. Aber reicht das dann auch als Begründung, indem man sagt, dass der erste Faktor nur >0 ist, wenn x>y gilt? Der zweite Faktor ist ja schon nach Vorraussetzung >0 ...

Sorry, mit dem Beweisen habe ich es (noch) nicht so... ich muss zum Glück ja nur ein Semester Mathematik machen.

Dann hätte ich noch eine Frage zur nächsten Aufgabe. Die habe ich glaube ich fertig, wollte aber mal eine dritte Meinung einholen.

Aufgabe: Bestimmt alle x (Element aus der Menge der reellen Zahlen), so daß gilt:

$\begin{eqnarray*} x^2 > x \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann so gemacht:

$\begin{eqnarray*} x^2 > x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(x-1) > 0 \end{eqnarray*}$

Und das ist nur erfüllt, wenn x > 1 gilt. Das ist so ausreichend, oder?

08.11.2007, 22:06

tmo

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man kann ungleichungen mit positiven zahlen multiplizieren, ohne dass ungleichungszeichen ändern zu müssen.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+y} \end{eqnarray*}$ ist positiv.

zur zweiten aufgabe: wann ist ein produkt denn größer als 0?

08.11.2007, 22:10

Mulder

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Zitat:

Original von tmoman kann ungleichungen mit positiven zahlen multiplizieren, ohne dass ungleichungszeichen ändern zu müssen.

Ah, danke. Dann komme ich zurecht.

Zitat:

Original von tmozur zweiten aufgabe: wann ist ein produkt denn größer als 0?

Naja... wenn beide Faktoren größer Null sind. Und das gilt in diesem Fall dann doch nur, wenn x>1 ist, oder nicht?

08.11.2007, 22:12

tmo

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$\begin{eqnarray*} -3 \cdot (-4) > 0 \end{eqnarray*}$

gilt doch oder? Augenzwinkern

08.11.2007, 22:16

Mulder

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} -3 \cdot (-4) > 0 \end{eqnarray*}$

gilt doch oder? Augenzwinkern

Aaah... ich war auch immer noch von den Anfangsvorraussetzungen ausgegangen: Dieses hier:

Zitat:

Seien x,y Elemente der reellen Zahlen und 0<x sowie 0<y

Aber das bezog sich wohl nur auf Aufgabe a... *grübel* ... ok, dann muss ich nochmal schauen.

08.11.2007, 22:26

Mulder

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Kann man denn nicht trotzdem von diesem hier ausgehen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x(x-1) > 0 \end{eqnarray*}$

Kann man das nicht in 2 Schritten machen? Also man sagt erst, "sei x>0" und geht dann so vor, wie ich es getan habe. Und dann sagt man "sei x<0" und geht ähnlich vor.

Ich bin so stolz auf meinen Ansazt, das will ich nicht verwerfen müssen. Big Laugh

08.11.2007, 22:27

tmo

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Zitat:

Original von Mulder
Ich bin so stolz auf meinen Ansazt, das will ich nicht verwerfen müssen. Big Laugh

musst du auch nicht. der ansatz ist richtig Freude

08.11.2007, 22:43

Mulder

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Alles doof...

Ich bin jetzt von x<0 (bzw. -x>0) ausgegangen.

Kann ich dann sagen:

$\begin{eqnarray*} (-x)^2 -(-x) >0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich das ausrechne, komme ich immer auf die Lösung, x müsse kleiner 1 sein, was ja falsch ist...

unglücklich

08.11.2007, 22:44

tmo

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warum gehst du denn ganz an den anfang zurück?

bleib doch bei x(x-1) > 0

wenn x kleiner als 0 ist, was muss dann mit (x-1) sein, damit das produkt größer als 0 ist?

08.11.2007, 22:49

Mulder

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Dann muss (x-1) auch <0 sein. Das ist erfüllt für alle x<1. Und das ist ja eben nicht richtig. Oder habe ich da jetzt einen Denkfehler?

Für 0<x<1 gilt die Ursprungsbehauptung $\begin{eqnarray*} x^2 - x >0 \end{eqnarray*}$ ja gar nicht.

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