nullstellen eines polynoms

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09.11.2007, 00:28	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
nullstellen eines polynoms hallo! es gab mal wieder hausübungen =): wie müssen die parameter a und b aus $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ gewählt werden, damit $\begin{eqnarray} (1+i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (2+3i) \end{eqnarray}$ nullstellen des polynoms: $\begin{eqnarray} p(x)=2x^2+ax+b \end{eqnarray}$ sind? meine idee ist: mit hilfe der mitternachtsformel die nullstellen in abhängigkeit von a und b zu ermitteln und diese lösungen dann gleichzusetzen mit: $\begin{eqnarray} (1+i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (2+3i) \end{eqnarray}$ ist das sinnvoll, oder gibts einen besseren weg? weil: die lösungen der mitternachtsformel geben ja immer: $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ einer wurzel und dann erhalte ich vier gleichungen, wenn ich jede lösung gleich jeder forderung setze...
09.11.2007, 01:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizientenvergleich Da das Polynom den Grad 2 hat, kann es nur in 2 Linearfaktoren zerfallen. Diese sind dir auch schon gegeben. Bleibt nur noch ein Konstante als Faktor. $\begin{eqnarray} p(x) =c\cdot \Bigl( x- (1+i)\Bigr) \cdot \Bigl(x-(2+3i) \Bigr) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x) = c \cdot \Bigl( x^2-(2+3i)x-(1+i)x+(1+i)(2+3i) \Bigr) \end{eqnarray}$ Damit ergibt c=2 $\begin{eqnarray} p(x) = 2x^2+\underbrace{[-2(2+3i)-2(1+i)]}_{=a}x+\underbrace{2(1+i)(2+3i)}_{=b} \end{eqnarray}$ Tippfehler nicht kontrolliert
10.11.2007, 13:16	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
und dass c=2 sich ergibt, siehst du, weil es heißt f(x)=2x²... ?
10.11.2007, 14:58	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Tigerbine: Du verstößt gegen die Boardregeln.
11.11.2007, 22:04	L.i.t.t.l.e.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, hätte auch eine kleine Frage zu dieser Aufgabe.. :-) Woher kommt das c ? Wahrscheinlich von dem a und b, aber kann mir das vlt einer kurz erklären? Danke! L.i.t.t.l.e.
11.11.2007, 22:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
die Regelbrecherin -) Das c habe ich als Variable für die Konstante gewählt. Es sind die beiden Nullstellen vorgegben, also 2 Linearfaktoren. Es ist aber nicht gesagt, dass das Polynom normiert ist, deswegen macht man den Ansatz $\begin{eqnarray} p(x)=c\cdot (x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray}$
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11.11.2007, 22:35	L.i.t.t.l.e.	Auf diesen Beitrag antworten »
Glaube so einigermaßen, hab ichs verstanden. Hätte aber noch eine Verständnisfrage. Die komplexen Zahlen habe ich vor ca. 2 Monaten kennen gelernt, kenn mich also noch nicht so gut aus. Wenn ich jetzt eine quadratische Funktion wie hier habe, dessen Nullstellen aus komplexen Zahlen bestehen. Wie kann ich mir die Funktion dann vorstellen? Ich kann die komplexen Zahlen ja nicht auf der x-Achse einzeichnen, da sind ja nur reelle Zahlen, oder? Danke und Gruß. L.i.t.t.l.e.
11.11.2007, 22:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Komplexen Zahlen zeichnet man überlicherweise in ein xy-Koordinatensystem (z=x+iy)
11.11.2007, 23:10	L.i.t.t.l.e.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab ich schon verstanden, dass man komplexe Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnet. Aber wenn ich jetzt die Nullstellen dieser quadratischen Funktion in einem Koordinatensystem veranschaulichen will, wie mach ich das?
11.11.2007, 23:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na die "Punkte" in der Ebene einringeln. Oft werden Funktion mit komplexen Zahlen in 2 Koordinatensystemen dargestellt, weil es ja 4D wäre. Einen Graphen wie von IR-> IR hast Du da nicht mehr, wenn du das meinst?
11.11.2007, 23:51	L.i.t.t.l.e.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das meinte ich. Danke! Wieso wäre das Koordinatensystem 4-Dimensional? Zähle nur 3 Dimensionen. Hätte jetzt vermutet, dass das eine Koordinatensystem das kartesische Koordinatensystem wäre.. und das andere? Etwa ein dreidimensionales Koordinatensystem, bei der die Gaußsche Zahlenebene die Grundebene darstellt? Aber dann wäre das erste Koordinatensystem doch einfach ein Schnitt durch dieses Gebirge entlang der reellen Achse. Liege ich mit meinen Vermutungen nun komplett falsch? Grüße L.i.t.t.l.e.
11.11.2007, 23:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein bei C -> C brauchst Du 2 xy Koordinatensysteme, nebeneinander. Bei C -> IR kannst Du einen 3D Plot machen.
11.11.2007, 23:58	L.i.t.t.l.e.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt.. Hatte jetzt einfach angenommen, dass wenn ich die Funktion mit komplexen Zahlen füttere, nur reelle Zahlen rauskommen würden. Noch eine kleine Frage, dann bin ich ruhig: Was wäre denn das zweite Koordinatensystem bzw. wie würden die Achsen aussehen?
12.11.2007, 00:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wie das erste. Man würde dann aber immer nur Teilgebiete plotten oder Urbilder suchen. Denn das Bild einer Bijektiven Funktion wäre nicht sehr spannend^^ Schau mal im Board nach aufgaben, "Wo liegen in der Gaußebene folgende komplexen Zahlen".
12.11.2007, 00:11	L.i.t.t.l.e.	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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