Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

09.11.2007, 09:01

topfklao

Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Hallo

!

Ich komme mit dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k-1}{k!}=\frac{n!-1}{n!} \end{eqnarray*}$

Induktionsbasis, Induktionsannahme passen schon mal.

Dann Induktionsschritt:
n --> n+1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k-1}{k!}+(n+1)=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Einsetzen und erweitern auf Hauptnenner:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{n!-1}{n!}+\frac{(n+1)*n!}{n!}=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{n!-1+(n+1)*n!}{n!}=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{n!-1+n*n!+n!}{n!}=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich hier nun weiter; sodass der Induktionsbeweis richtig ist?

09.11.2007, 09:17

sqrt4

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von topfklao
l.

Dann Induktionsschritt:
n --> n+1
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k-1}{k!}+(n+1)=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Der (n+1)-te Summand deiner Summe ist nicht $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ . Also ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k-1}{k!}=\sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k!}+\frac{(n+1)-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

09.11.2007, 09:33

topfklao

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?
Heißt ich muss immer für das k aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k-1}{k!} \end{eqnarray*}$ n+1 einsetzen und dann addieren?

Nur bin ich jetzt wieder beim nächsten Problem.....

Ich setze, dass nun folgendermaßen auf der linken Seite ein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k-1}{k!}=\sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k!}+\frac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\frac{n!-1}{n!}+\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{(n!-1)*(n+1)!+n*n!}{n!*(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Als Hauptnenner verwendete ich: n!*(n+1)!

Ich komme wohl mit den ganzen Fakultäten nicht klar... Lehrer

09.11.2007, 09:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von topfklao
Heißt ich muss immer für das k aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k-1}{k!} \end{eqnarray*}$ n+1 einsetzen und dann addieren?

Das ist prinzipiell die Eigenschaft der Summe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~a_n = \sum_{k=1}^n~a_n + a_{n+1} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zitat:

Original von topfklao
Als Hauptnenner verwendete ich: n!*(n+1)!

Das ist ein bißchen dick aufgetragen. Schreibe (n+1)! = (n+1) * n! Dann ist der Hauptnenner leicht zu sehen. Augenzwinkern

09.11.2007, 10:05

topfklao

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von klarsoweit
(...)
Das ist ein bißchen dick aufgetragen. Schreibe (n+1)! = (n+1) * n! Dann ist der Hauptnenner leicht zu sehen. Augenzwinkern

Das heißt man kann die Fakultät aus (n+1)! rausziehn?

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)*n!*1! = (n+1)*n! \end{eqnarray*}$

Heißt der "schönere Hauptnenner ist":
$\begin{eqnarray*} n!*(n+1) \end{eqnarray*}$

09.11.2007, 10:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von topfklao
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)*n!*1! \end{eqnarray*}$

Das ist zwar prinzipiell richtig, läßt aber in mir den Verdacht aufkommen, daß die Fakultät noch nicht richtig verstanden ist. Es ist nämlich im allgemeinen
$\begin{eqnarray*} (n+2)! \neq (n+2)*n!*2! \end{eqnarray*}$

Du solltest dir einfach mal die Definition der Fakultät genauer anschauen:

$\begin{eqnarray*} n! := \prod_{k=1}^n~k = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n \end{eqnarray*}$

Analog ist:
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = \prod_{k=1}^{n+1}~k = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht ist also (n+1)! = (n+1) * n!

Zitat:

Original von topfklao
Heißt der "schönere Hauptnenner ist":
$\begin{eqnarray*} n!*(n+1) \end{eqnarray*}$

Ja.

09.11.2007, 11:12

topfklao

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?
Du hast Recht... Das mit der Fakultät ist mir immer noch etwas schleierhaft verwirrt

.. (Liegt wohl dran, dass es am Ende der Vorlesung behandelt wurden... )

Aber analog müsste dann:
$\begin{eqnarray*} (n+3)! = \prod_{k=1}^{n+3}~k = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n \cdot (n+3) \end{eqnarray*}$
sein.. heißt (n+k)! = (n+k)*n! ??

Zitat:

Original von topfklao
Heißt der "schönere Hauptnenner ist":
$\begin{eqnarray*} n!*(n+1) \end{eqnarray*}$

Ja.

[/quote]
===> Es steht auf der linken Seite nun:
$\begin{eqnarray*} \frac{k-1}{k!}+\frac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\frac{n!-1}{n!}+\frac{n+1-1}{(n+1)*n!}=\frac{(n!-1)*(n+1)+n}{n!*(n+1)} \end{eqnarray*}$

09.11.2007, 11:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von topfklao
Aber analog müsste dann:
$\begin{eqnarray*} (n+3)! = \prod_{k=1}^{n+3}~k = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n \cdot (n+3) \end{eqnarray*}$
sein.. heißt (n+k)! = (n+k)*n! ??

Nein. Da hast du jetzt die Faktoren (n+1) und (n+2) verschlampert. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} (n+3)! = \prod_{k=1}^{n+3}~k = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \end{eqnarray*}$

Demzufolge ist (n+k)! = (n+k) * (n+k-1) * ... * (n+1) * n!

Was den Beweis angehst, solltest du nochmal hinschreiben, was auf der rechten Seite rauskommen soll.

09.11.2007, 12:24

topfklao

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von klarsoweit

Nein. Da hast du jetzt die Faktoren (n+1) und (n+2) verschlampert. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} (n+3)! = \prod_{k=1}^{n+3}~k = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \end{eqnarray*}$

Dann hab ich das mal kapiert smile

Nochmal zum Beweis:

Soweit wären wir dann....:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n!-1)*(n+1)+n}{n!*(n+1)}=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!*n+n!-n-1+n}{(n+1)!}=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!*n+n!-1}{(n+1)!}=\frac{(n+1)!-1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Irgendwie komm ich jetzt da auch wieder nicht weiter traurig

09.11.2007, 12:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?
Du hättest bei n! * (n+1) nicht die Klammer auflösen sollen, denn was war das noch? (Tipp: siehe in einen meiner vorigen beiträge)

09.11.2007, 12:37

topfklao

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von klarsoweit
(...)
Schreibe (n+1)! = (n+1) * n! (...)

Da habe ich ja dann im Prinzip keine Klammern aufgelöst?? Weiß nicht auf was du hinauswillst?

Aber soweit sind die Schritte dann schon noch in Ordung in meinem vorherigem Post?

09.11.2007, 12:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?
Heidinei, ist das schwierig. unglücklich

Schreibe:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n!-1)*(n+1)+n}{n!*(n+1)}=\frac{n! \cdot (n+1) - (n+1)+n}{n!*(n+1)} = \frac{(n+1)! - 1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Und schon bist du da, wo du hin willst. smile

09.11.2007, 12:55

topfklao

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ichs Tanzen

Ist immer so eine Sache mit den "Tricks bei der vollständigen Induktion" Big Laugh

Ich danke dir auf alle Fälle Gott

Hast es echt drauf!

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion mit Faktultäten: Was mache ich falsch?

Verwandte Themen