diagonalsierbarkeit, f-invariante Unterräume |
| 16.04.2005, 15:08 | Gummibaum | Auf diesen Beitrag antworten » |
| diagonalsierbarkeit, f-invariante Unterräume Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, V ein endl. dim. K-Vektorraum und f:V->V ein Endomorphismus. Beweise, dass f genau dann diagonalsierbar ist, wenn es zu jedem f-invarianten Unterraum U aus V einen f-invarianten Unterraum U' aus V mit V = U(+)U' gibt. für Ansätze oder ideen wäre ich sehr dankbar! 
gruß, Gummibaum |
||
| 16.04.2005, 19:34 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
erstmal zu der einfacheren Richtung Sei f diagonalisierbar dann ist f in einer geeigneten Basis eine Matrix in Diagonalform dann ist jeder Eigenraum zu einem Eigenwert f-invariant dann kann man zeigen, das jeder f-invariante Unterraum eine direkte Summe von Eigenräumen ist damit gilt: V zerlegt sich in eine direkte Summe von seinen Eigenräumen, alle f-invarianten URäume sind direkte Summen von ein oder mehrerer dieser Eigenräume damit folgt die zweite Eigenschaft in der anderen Richtung kann man erstamal so anfangen: man kann V in eine direkte Summe von minimalen f-invarianten URäumen zerlegen (geht da dim >= 1 und V endlich dimensional) damit kann man f auch als direkte Summe von Endomorphismen auf diesen URäumen zerlegen wenn die URäume alle dim 1 hätten, wäre man jetzt fertig, dies ist im allgemeinen aber nicht der Fall jetzt muss man irgendwie die algebraische Abgeschlossenheit ins Spiel bringen an einen BSP sieht man auch, das sie jetzt gebraucht wird eine Rotation in R^2 oder C^2 um den Winkel phi hat die Matrix cos(phi) sin(phi) -sin(phi) cos(phi) diese Matrix ist in C (alg abgeschlossen) diagonalisierbar als e^i phi 0 0 e^i phi in R (nicht alg abgeschossen) aber nicht |
||
| 16.04.2005, 21:47 | Gummibaum | Auf diesen Beitrag antworten » |
super, das hilft mir weiter! vielen dank
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
