Die aufgaben des bayrischen Mathematik Wettbewerbs.

09.11.2007, 20:05

mathe760

Die aufgaben des bayrischen Mathematik Wettbewerbs.

Hallo,

Da jetzt der Mathematik wettbewerb Bayern zuende ist, würde ich gerne die Auflösung von den Aufgaben hier haben, oder wenigsens Ansätze.

Ich freue mich schon auf eure Antworten.

Bis denn mathe760 Wink

09.11.2007, 20:34

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Vollständige Lösungen zu präsentieren ist mir irgendwie zu langweilig. Aber Hinweise kann ich schon geben, ich fang mal mit Aufgabe 5 an:

Die zu lösende Gleichung kann man umformen zu $\begin{eqnarray*} (x-7)(y-2) = 2021 = 43\cdot 47 \end{eqnarray*}$ .

09.11.2007, 21:24

mathe760

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Vielen Dank Arthur Wink

Ich denke ich hab jetzt die Aufgabe gelöst, aber wie kommt man einfach so auf den Ansatz mit dem faktorisieren und das 2021=43*47 ist??

Naja meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} 2x+7y+2007=x\cdot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-7)\cdot (y-2)=2021=43\cdot 47 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x-7)=43\Rightarrow x=50 und (x-7)=47\Rightarrow x=54 \end{eqnarray*}$ ausserdem:

$\begin{eqnarray*} (y-2)=43\Rightarrow y=45 und (y-2)=47\Rightarrow y=49 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} L: \{x,y|x=50und x=54;y=45undy=49\} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das das richtig ist.

Übrigens wie macht man eigentlich das "Ist äqualent zu" Zeichen, und das mathematische und Zeichen??

Bis denn mathe760 Wink

09.11.2007, 21:38

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Zitat:

Original von mathe760
also:

$\begin{eqnarray*} L: \{x,y|x=50und x=54;y=45undy=49\} \end{eqnarray*}$

Eine unverständliche Lösungsangabe, zu erwarten ist die Angabe von (x,y)-Paaren, die die Gleichung lösen.

Die (x,y)-Paare (50,45) und (54,49) sind jedenfalls keine Lösungen, da die Probe fehlschlägt. Dafür fehlen einige der richtigen Lösungen..

09.11.2007, 22:07

riwe

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2)
$\begin{eqnarray*} \alpha+\frac{\alpha}{2}+12+...=180\to \alpha =52 \end{eqnarray*}$

4)

$\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ unglücklich

und ein bilderl dazu

6)

ein bißerl $\begin{eqnarray*} pythagoras \end{eqnarray*}$ samt obligatem bilderl smile

09.11.2007, 22:55

tigerbine

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Die Lösungen der Aufgaben sind in absehbarer Zeit auf der Wettbewerbsseite einsehbar.

10.11.2007, 07:09

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Zu 1)

Etwas interessanter wäre die Aufgabe gewesen, wenn statt zwei allgemein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Farben zur Färbung des Würfels zugelassen worden wären. In dem Fall ist die Anzahl der Färbungen gleich

$\begin{eqnarray*} f(n) = \frac{n^2}{24} (n^4+3n^2+12n+8) \end{eqnarray*}$

der Beweis dazu steht sogar direkt auf der Wikipedia-Seite zum Burnside-Lemma, dort zwar nur für n=3, aber in offensichtlicher Weise verallgemeinerbar.

In der vorliegenden Aufgabe kann man sich aber damit begnügen, die $\begin{eqnarray*} f(2)=10 \end{eqnarray*}$ Färbungen direkt anzugeben - fertig.

Zu 3)

Zunächst betrachtet man die Summe aller vergebenen Punktzahlen, aus dem Blickwinkel der Punktrichter ergibt sich der Wert 546. Dies auf die 12 Teilnehmer aufgeteilt führt das zur notwendigen Bedingung, dass ein alleiniger Sieger mindestens 47 Punkte aufweisen muss.

In einem zweiten Schritt weist man nach, dass eine Punktvergabe mit einem alleiniger Sieger mit genau 47 Punkten tatsächlich existiert - am besten einfach dadurch, dass man eine solche Punktvergabe direkt angibt.

Zu 4) In Ergänzung zu Werners Bild die flächengleichen Gebiete farblich markiert:

10.11.2007, 10:17

tmo

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zur gleichung:

$\begin{eqnarray*} 2x+7y+2007 = xy \end{eqnarray*}$

stelle einfach mal nach y frei, dann fällt dir der entscheidende umformungsschritt, um zu faktorisieren schon ein Augenzwinkern

10.11.2007, 13:45

mathe760

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Vielen dank erstmal, ich denke ich habe nicht so viele Punkte, erstens hab ich nur drei Aufgaben bearbeitet, und zweitens hab ich das nicht so wie ihr hier aufgeschrieben habt, nur die 2).
Bin ich jetzt schlecht??

Bis denn mathe760 Wink

12.11.2007, 16:28

brain man

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Zitat:

Original von mathe760
Bin ich jetzt schlecht??

Ja.

12.11.2007, 16:31

Rare676

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Zitat:

Original von tmo
zur gleichung:

$\begin{eqnarray*} 2x+7y+2007 = xy \end{eqnarray*}$

stelle einfach mal nach y frei, dann fällt dir der entscheidende umformungsschritt, um zu faktorisieren schon ein Augenzwinkern

Dürfte ich diesen Umformungsschritt vllt einmal sehen? Augenzwinkern

12.11.2007, 16:44

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Ich denke, tmo meint die Umformungsschritte

$\begin{eqnarray*} (x-7)y = 2x+2007 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2x+2007}{x-7} = 2 + \frac{2021}{x-7} \end{eqnarray*}$

letzteres kann man als normale Polynomdivision mit Rest ansehen. Aber tmo kann mich gern hinsichtlich seiner Gedankengänge korrigieren. Augenzwinkern

12.11.2007, 16:52

Rare676

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Ja, das hatte ich auch raus. Mein Brett habt ihr mir abgenommen. danke Augenzwinkern

12.11.2007, 17:00

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Im Grunde genommen ist es dasselbe wie $\begin{eqnarray*} (x-7)(y-2) = 2021 \end{eqnarray*}$ , diese Produktdarstellung erspart aber überflüssige Diskussionen wie "Division durch (x-7), darf man das? wenn ja, wieso, blablabla", denen ich gern aus dem Wege gehe, wenn sie (wie gesagt) unnötig sind. Augenzwinkern

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