Potenzreihenentwicklung

10.11.2007, 12:27

Insider1987

Potenzreihenentwicklung

Hallo, leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \text{Man zeige: }\sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{(6k-1)\cdot(6k-1)} =\frac{1}{9}\frac{\pi}{\sqrt{3}}-\log(2) \end{eqnarray*}$

Gruß

Insider1987

EDIT: LaTeX by Frooke

10.11.2007, 14:29

Lazarus

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Es wundert mich nicht, das du da nicht weiterkommst - die Formel stimmt einfach nicht.

Die rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi\sqrt{3}}{27}-\ln(2) < 0 \end{eqnarray*}$ wie man schnell durch Nachrechnen zeigen kann.

Die linke Seite hingegen ist trivalerweise $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ .

Ergo -> *Blitz*

lg

10.11.2007, 16:00

Insider1987

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Hallo,

es ist die Summe 1/((6k-4)*(6k-1)) = 1/9*(pi/sqrt(3)-log(2))

10.11.2007, 16:49

Tomtomtomtom

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Echt faszinierend, das könnte sogar wirklich hinkommen.

Eine erste Idee wäre, die folgenden Beziehungen zu verwenden, die sich unmittelbar aus den Reihenentwicklungen von ln(x) und arctan(x) ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+-\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+-\ldots \end{eqnarray*}$

Ob es genau mit diesen Reihen funktioniert weiß ich nicht, jedenfalls ist das die grundlegende Idee.

10.11.2007, 18:01

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Zunächst mal ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(6k-4)(6k-1)} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6k-4} - \frac{1}{6k-1} \right] \end{eqnarray*}$ .

Irgendwie scheint man das ganze mit der komplexen Log-Reihe

$\begin{eqnarray*} -\log(1-z) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n} \end{eqnarray*}$

zu tun zu haben, zumindest wenn man $\begin{eqnarray*} z=\exp\left( \pm \frac{2}{3}\pi i \right) \end{eqnarray*}$ oder verwandtes mal probiert ...

Außerdem habe ich ein klares Déjà Vu: Irgendwie habe ich diese oder eine sehr ähnliche Reihe mal schon hier im Board gesehen, aber ich weiß nicht mehr wo und kann den Thread auch nicht mehr finden. verwirrt

10.11.2007, 19:24

Teddy

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Zitat:

Original von Insider1987
Hallo,

es ist die Summe 1/((6k-4)*(6k-1)) = 1/9*(pi/sqrt(3)-log(2))

Das stimmt immer noch nicht. Aus demselben Grund, den Lazarus schon darlegte.
Ach so, ist jetzt anders geklammert. Bei dieser Schreibweise erkennt man auch nix.

10.11.2007, 19:28

Tomtomtomtom

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Ne, das passt schon. Numerisch hauts auch ziemlich gut hin, wenn man mal die ersten 10000 Summanden addiert. Und einigermaßen plausibel ist es auch, daß irgendwas in der Art gelten könnte.

10.11.2007, 21:43

Insider1987

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Als Tipp wurde noch gegeben, dass man sich die Potenzreihe der Funktion f(x):=x/(1+x^3) ansehen soll...

10.11.2007, 22:19

Tomtomtomtom

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Das ist ein verdammt guter Tipp. Sorry, aber sowas nicht von Anfang an hinzuschreiben, wo sich hier Leute die Mühe machen, dir helfen zu wollen, macht mich ein bißchen sauer. Unsere Zeit wächst auch nicht auf Bäumen, auch wenn das sicher eine der interessanteren Aufgaben derzeit ist.

Vergiss in dem Fall meine Bemerkungen von oben, es geht einfacher. Berherzige den Tipp mit der Partialbruchzerlegung von Arthur Dent und denke außerdem noch einmal darüber nach, was du über Differentiation und Integration von Potenzreihen weißt.

Edit:

Ich habe das ganze jetzt nochmal versucht durchzurechnen. Allerdings dachte ich, ich berechne einfach die Taylorreihe der angegebenen Funktion im Punkt 0, und integriere dann einmal die Funktion und einmal die Taylorreihe. Das darf man aber nur im Inneren des Konvergenzradius (in diesem Fall für |x|<1) sowie in Falle der Konvergenz der ursprünglichenTaylorreihe in einem Randpunkt auch in diesem (Abelscher Grenzwertsatz). Die Konvergenz ist aber hier nicht gegeben, und tatsächlich liefert dieses Vorgehen hier auch ein falsches Ergebnis. Hat jemand eine saubere Lösung?

11.11.2007, 08:30

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Einverstanden mit allem, außer ganz zum Schluss: Die Konvergenz ist hier gegeben, der Abelsche Grenzwertsatz damit anwendbar und liefert auch das hier erwartete Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9}\left[ \frac{\pi}{\sqrt{3}}-\ln(2) \right] \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht ein Rechenfehler? Zum Vergleich mal das Zwischenergebnis

$\begin{eqnarray*} F(x) := \frac{1}{3} \int\limits_0^x ~ \frac{t}{1+t^3} ~ \dd t = \frac{1}{18} \left[ \ln\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2} + 2\sqrt{3}\cdot \left( \arctan\left[ \frac{2}{3}\sqrt{3} \left( x-\frac{1}{2} \right) \right] + \frac{\pi}{6} \right) \right] \end{eqnarray*}$ .

11.11.2007, 09:56

Tomtomtomtom

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Aja, ich hab die untere Integrationsgrenze vergessen. Und der Abelsche Grenzwertsatz gilt natürlich, ich muß ihn ja auf die abgeleitete Potenzreihe anwenden, und nicht auf die ursprüngliche.

Trotz allem mal ne interessante Aufgabe, die etwas weniger Mainstream ist, und mit dem Tipp sogar gut lösbar.

11.11.2007, 12:33

Insider1987

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Danke schon einmal. Den Tipp erhielt ich erst gestern Nachmittag.

Wie kann ich denn mit deinem Zwischenergebnis weiterrechnen, Arthur Dent? Wie ziehe ich die Verbindung zu der Aufgabe?

11.11.2007, 15:12

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Hier steht es doch:

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
ich berechne einfach die Taylorreihe der angegebenen Funktion im Punkt 0, und integriere dann einmal die Funktion und einmal die Taylorreihe.

Mit dem von mir oben definierten $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ geht es dabei letztendlich um $\begin{eqnarray*} F(1) \end{eqnarray*}$ .

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