vollst. Induktion - aufg. II

10.11.2007, 14:22

ricoh

vollst. Induktion - aufg. II

so, da tigerbine mich freundlicherweise darauf hingewiesen hat, fuer jede Aufgabe einen eigenen Thread zu erstellen mache ich hier nun weiter:

zu beweisen durch vollstaendige Induktion:

$\begin{eqnarray*} A(n): \sum_{k=2}^{n-1}~\frac{2}{k^{3}-k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n-1)} , n\geq 2 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(2): \sum_{k=2}^{2-1}~\frac{2}{2^{3}-2} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2-1)} = 0 \end{eqnarray*}$

hier weiss ich schon nicht mehr weiter, da ja A(n) fuer n = 2 nicht gilt. Ist die Induktion damit schon abgeschlossen? ich haette sonst folgendermassen weitergemacht:

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} A(n+1): \sum_{k=2}^{(n+1)-1}~\frac{2}{k^{3}-k} + \frac{2}{(n+1)^{3}-(n+1)}= \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n-1)}+\frac{2}{(n+1)^{3}-(n+1)} \end{eqnarray*}$

ich glaub mir fehlt noch einiges beim verstaendnis der vollind... verwirrt

trotzdem die Frage: soweit so gut?

10.11.2007, 14:33

Lazarus

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Dein Induktionsanfang ist denkbar ungünstig gewählt.

Probier doch mal n=3

Ziel ist ja nicht zu zeigen dass die Behauptung für manche n quatsch war, weil das bringt einem ja nichts. Man will ja zeigen das ab einem gewissen n für unendlich viele darauf folgende gilt.

Zur Induktion unten: Du willst zu schnell zu viel. Du setzt an und formst gleichzeitig noch um indem du den letzten Summanden Rausziehst. Dann wirds natürlich falsch !

Mach doch mal in aller ruhe der Reihe nach...

10.11.2007, 16:25

ricoh

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ja, n = 2 ist wirklich n bissl bloed... naja, ich dacht halt wegen $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(3): \sum_{k=2}^{3-1}~\frac{2}{3^{3}-3} = \frac{1}{12} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3(3-1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

d.h. A(n) gilt auch fuer n = 3 nicht.

Beim Induktionsschritt stimmt doch soweit die linke Seite oder?

$\begin{eqnarray*} A(n+1): \sum_{k=2}^{(n+1)-1}~\frac{2}{k^{3}-k} + \frac{2}{(n+1)^{3}-(n+1)} \end{eqnarray*}$

was ich jetzt nicht genau weiss ist was ich mit der rechten Seiten machen soll... mir wurde das so erklaert dass man das "neue in das alte" einsetzt.

Gruss ricoh

10.11.2007, 17:19

scavilein

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Hi,

unter dem Bruchstrich muss $\begin{eqnarray*} k^3-k \end{eqnarray*}$ stehen. :P

Guck noch mal in deinen anderen Thread.

Du stellst die Behauptung auf und setzt dort deine Annahme ein.

Gruß

11.11.2007, 16:10

ricoh

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@ scavilein: danke fuer den netten Hinweis. hab's wirklich uebersehen Augenzwinkern

jetzt ist es ausgebessert. trotzdem erhaelt man fuer n = 3 nur Murks. Der Anfang der Reihe muss also noch weit hoeher liegen, oder?

Gruss ricoh

11.11.2007, 17:31

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Zitat:

Original von ricoh
$\begin{eqnarray*} A(3): \sum_{k=2}^{3-1}~\frac{2}{3^{3}-3} \end{eqnarray*}$

Nein, falsch eingesetzt - richtig ist

$\begin{eqnarray*} A(3):\quad \sum_{k=2}^{3-1}~\frac{2}{k^3-k} = \frac{2}{2^3-2} \end{eqnarray*}$

Genauso kann man oben

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2-1} \ldots \end{eqnarray*}$

als "leere" Summe auffassen, deren Wert man zweckmäßig mit Null festlegt.

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