berechnung der kleinsten periode

10.11.2007, 15:01

Primzahl

berechnung der kleinsten periode

wie berechne ich die kleinste periode dieser funktion?

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(2x)+sin(3x) \end{eqnarray*}$

ich weiß jeweils die kleinste periode der teilfunktionen also bei sin(2x) ist es $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und bei sin(3x) ist es $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ .
aber was mach ich bei dieser funktion?

10.11.2007, 15:06

MisterMagister

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Entweder "kgV" oder es gibt ein kleineres x mit $\begin{eqnarray*} sin(2x) = -sin(3x) \end{eqnarray*}$ .

10.11.2007, 15:20

mYthos

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Mittels des 2. Additionstheorems erhält man zwei Argumente der Sinusfunktionen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x}{2} \ \text{und} \ \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Aus
$\begin{eqnarray*} z + 2k \pi = \frac{5x}{2} \end{eqnarray*}$

kannst du nun die Periodenlänge berechnen.
Hinweis: Nach x auflösen.
Das andere Argument liefert eine weit größere Periodenlänge.

EDIT: Stimmt leider nicht, bitte nicht weiter verfolgen!

mY+

10.11.2007, 15:38

Primzahl

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und woher erhalte ich z und k?

10.11.2007, 15:43

mYthos

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z ist ja nur eine Substitutionsvariable, die kannst ja mitverarbeiten, sie ändert ja nichts an der Periodenlänge, die du ausrechnen musst. Forme doch mal wie beschrieben um!

mY+

10.11.2007, 15:51

Primzahl

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wenn ich das ausrechne kommt.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{4}{5} z+\frac{8}{5} k\pi \end{eqnarray*}$ raus.

und das ist die kleinste periodenlänge? muss man noch r k=0 einsetzen?

10.11.2007, 16:00

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Zitat:

Original von MisterMagister
Entweder "kgV"

Da stimme ich zu, formuliere es aber etwas ausführlicher:

Existiert eine gemeinsame Periode beider Bestandteile (d.h. jeweils ein ganzzahliges Vielfaches der jeweiligen kleinsten Periode), dann ist dies auch eine Periode der Gesamtfunktion. Und jede Periode ist ja ein ganzzahliges Vielfaches der kleinsten Periode. Sofern es existiert, ist also die Betrachtung des kgV der Bestandteils-Perioden sinnvoll.

Viel mehr lässt sich allgemein nicht sagen - im besonderen Fall wie hier muss man sich dann bei der Bestimmung bzw. Begründung der kleinsten Periode noch was einfallen lassen. Augenzwinkern

10.11.2007, 16:08

Primzahl

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das mit dem kleinsten gemeinsamen vielfachen hab ich mir auch schon gedacht, aber mir fällt dazu keine mathematische begründung ein.

10.11.2007, 16:16

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Das ist doch gar nicht so schwer: Angenommen $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ habe die Periode $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ die Periode $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nun das kleinste gemeinsame Vielfache von $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann heißt das u.a.: Es existieren positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} m_1,m_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T=m_1T_1=m_2T_2 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt für eine beliebige Komposition $\begin{eqnarray*} h(x) := g(f_1(x),f_2(x)) \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} h(x+T) = g(f_1(x+T),f_2(x+T)) = g(f_1(x+m_1T_1),f_2(x+m_2T_2)) \stackrel{!}{=} g(f_1(x),f_2(x)) = h(x) \end{eqnarray*}$ ,

d.h., $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist eine Periode von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Wie bereits erwähnt, ist diese Periode aber nicht notwendig auch gleich die kleinste Periode von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , dazu bedarf es weiterer Überlegungen. Augenzwinkern

10.11.2007, 16:18

mYthos

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Zitat:

Original von Primzahl
wenn ich das ausrechne kommt.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{4}{5} z+\frac{8}{5} k\pi \end{eqnarray*}$ raus.

Die Umformung ist falsch.
Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2z}{5} + k \cdot \frac{4}{5} \pi \end{eqnarray*}$

Und das, was bei k steht, ist die (kleinste) Periodenlänge.

[EDIT: Der letzte Satz immt nicht! Ich lösche es jedoch nicht, um den Zusammenhang zu wahren.]

Oder verwirrt

Seh' gerade, das stimmt nicht, ohhh ..
(der Graph zeigt es nämlich richtig, nämlich mit $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ )

mY+

10.11.2007, 16:29

Primzahl

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Primzahl
wenn ich das ausrechne kommt.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{4}{5} z+\frac{8}{5} k\pi \end{eqnarray*}$ raus.

Die Umformung ist falsch.
Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2z}{5} + k \cdot \frac{4}{5} \pi \end{eqnarray*}$

ja stimmt hab ausversehen zweimal mit 2 multipliziert. ich blick momentan überhaupt nicht mehr durch. verwirrt

nach dem graphen wäre die kleinste periode ungefähr 6. kriegt man jetzt für die periodenlänge keinen konkreten wert raus?

10.11.2007, 18:30

mYthos

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Sorry für meinen Irrtum von vorher. Dabei habe ich nämlich immer den 2. Faktor ausser acht gelassen, aber beide Faktoren spielen gleichzeitig mit.

Das kgV ist tatsächlich ein gangbarer Weg.

Ermittle zunächst die Periodenlänge der beiden Summanden getrennt:

$\begin{eqnarray*} \sin 3x \to \frac{2 \pi}{3} \end{eqnarray*}$
[weil $\begin{eqnarray*} \sin 3x \end{eqnarray*}$ die Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ hat]

$\begin{eqnarray*} \sin 2x \to \frac{2 \pi}{2} = \pi \end{eqnarray*}$
[weil $\begin{eqnarray*} \sin 2x \end{eqnarray*}$ die Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ hat]

Da beide Summanden bei 0 den gleichen Anfangswert (0) haben, kann man jetzt jene Stelle auf der x-Achse bestimmen, an der die Funktionen beider Summanden wieder den gleichen Wert haben (zusammenfallen) und das ist das kgV der o.a. Periodenlängen:

$\begin{eqnarray*} kgV(\frac{2 \pi}{3};\pi) = 2 \pi = 6,28 .. \end{eqnarray*}$

Das bestätigt letztendlich auch der Graph.

mY+

10.11.2007, 19:10

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Der kgV ist $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , ja, und damit ist auch klar, dass die kleinste Periode der Summe ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist.

Ob es aber tatsächlich $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ selbst ist, kann man durch die Nullstellen schwerlich sehen, schließlich ist auch $\begin{eqnarray*} f(\pi)=0 \end{eqnarray*}$ , also könnte aus dem Blickwinkel auch Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ noch möglich sein. Augenzwinkern

Was aber z.B. helfen könnte, ist die Betrachtung der Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2\cos(2x)+3\cos(3x) \end{eqnarray*}$ :

Aus der Periodizität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit Periode $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ folgt ja im Fall vorausgesetzter Differenzierbarkeit, dass auch $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ die Periode $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ besitzt. Nun ist $\begin{eqnarray*} f'(0)=f'(2\pi)=5 \end{eqnarray*}$ und außerdem leicht nachweisbar $\begin{eqnarray*} f'(x)<5 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<x<2\pi \end{eqnarray*}$ . Damit kann es keine kleinere Periode als $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ geben.

11.11.2007, 16:05

Primzahl

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ok vielen dank für eure hilfe.

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