berechnung der kleinsten periode

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Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »
berechnung der kleinsten periode
wie berechne ich die kleinste periode dieser funktion?



ich weiß jeweils die kleinste periode der teilfunktionen also bei sin(2x) ist es und bei sin(3x) ist es .
aber was mach ich bei dieser funktion?
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder "kgV" oder es gibt ein kleineres x mit .
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mittels des 2. Additionstheorems erhält man zwei Argumente der Sinusfunktionen:



Aus


kannst du nun die Periodenlänge berechnen.
Hinweis: Nach x auflösen.
Das andere Argument liefert eine weit größere Periodenlänge.

EDIT: Stimmt leider nicht, bitte nicht weiter verfolgen!

mY+
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

und woher erhalte ich z und k?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

z ist ja nur eine Substitutionsvariable, die kannst ja mitverarbeiten, sie ändert ja nichts an der Periodenlänge, die du ausrechnen musst. Forme doch mal wie beschrieben um!

mY+
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das ausrechne kommt.

raus.

und das ist die kleinste periodenlänge? muss man noch r k=0 einsetzen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MisterMagister
Entweder "kgV"

Da stimme ich zu, formuliere es aber etwas ausführlicher:

Existiert eine gemeinsame Periode beider Bestandteile (d.h. jeweils ein ganzzahliges Vielfaches der jeweiligen kleinsten Periode), dann ist dies auch eine Periode der Gesamtfunktion. Und jede Periode ist ja ein ganzzahliges Vielfaches der kleinsten Periode. Sofern es existiert, ist also die Betrachtung des kgV der Bestandteils-Perioden sinnvoll.

Viel mehr lässt sich allgemein nicht sagen - im besonderen Fall wie hier muss man sich dann bei der Bestimmung bzw. Begründung der kleinsten Periode noch was einfallen lassen. Augenzwinkern
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dem kleinsten gemeinsamen vielfachen hab ich mir auch schon gedacht, aber mir fällt dazu keine mathematische begründung ein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch gar nicht so schwer: Angenommen habe die Periode , und die Periode .

Wenn nun das kleinste gemeinsame Vielfache von und ist, dann heißt das u.a.: Es existieren positive ganze Zahlen mit . Damit gilt für eine beliebige Komposition folgendes:

,

d.h., ist eine Periode von . Wie bereits erwähnt, ist diese Periode aber nicht notwendig auch gleich die kleinste Periode von , dazu bedarf es weiterer Überlegungen. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Primzahl
wenn ich das ausrechne kommt.

raus.


Die Umformung ist falsch.
Richtig ist:



Und das, was bei k steht, ist die (kleinste) Periodenlänge.

[EDIT: Der letzte Satz immt nicht! Ich lösche es jedoch nicht, um den Zusammenhang zu wahren.]



Oder verwirrt

Seh' gerade, das stimmt nicht, ohhh ..
(der Graph zeigt es nämlich richtig, nämlich mit )

mY+
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von Primzahl
wenn ich das ausrechne kommt.

raus.


Die Umformung ist falsch.
Richtig ist:





ja stimmt hab ausversehen zweimal mit 2 multipliziert. ich blick momentan überhaupt nicht mehr durch. verwirrt
nach dem graphen wäre die kleinste periode ungefähr 6. kriegt man jetzt für die periodenlänge keinen konkreten wert raus?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für meinen Irrtum von vorher. Dabei habe ich nämlich immer den 2. Faktor ausser acht gelassen, aber beide Faktoren spielen gleichzeitig mit.

Das kgV ist tatsächlich ein gangbarer Weg.

Ermittle zunächst die Periodenlänge der beiden Summanden getrennt:


[weil die Periodenlänge hat]


[weil die Periodenlänge hat]

Da beide Summanden bei 0 den gleichen Anfangswert (0) haben, kann man jetzt jene Stelle auf der x-Achse bestimmen, an der die Funktionen beider Summanden wieder den gleichen Wert haben (zusammenfallen) und das ist das kgV der o.a. Periodenlängen:



Das bestätigt letztendlich auch der Graph.

mY+
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der kgV ist , ja, und damit ist auch klar, dass die kleinste Periode der Summe ein Teiler von ist.

Ob es aber tatsächlich selbst ist, kann man durch die Nullstellen schwerlich sehen, schließlich ist auch , also könnte aus dem Blickwinkel auch Periode noch möglich sein. Augenzwinkern

Was aber z.B. helfen könnte, ist die Betrachtung der Ableitung :

Aus der Periodizität von mit Periode folgt ja im Fall vorausgesetzter Differenzierbarkeit, dass auch die Periode besitzt. Nun ist und außerdem leicht nachweisbar für alle . Damit kann es keine kleinere Periode als geben.
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank für eure hilfe.
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