untervektorraum

10.11.2007, 15:24

marci_

untervektorraum

ich weiß mal wieder nicht, wie ich eine solche aufgabe angehe:

im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vekotrraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ betrachten wir die vektoren $\begin{eqnarray*} v_1= (1,0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2=(0,1,0) \end{eqnarray*}$ .
Die Menge $\begin{eqnarray*} L(v_1,v_2):=\{\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2|\alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ heißt lineare hülle.

zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist ein untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

und: ist $\begin{eqnarray*} L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ auch ein untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$

die lineare hülle ist die menge aller linearkombinationen der vekotren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ in der aufgabe anschaulich gesagt: alle vektoren in der $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ - ebene

für den untervektorraum gilt:

a) $\begin{eqnarray*} u,v \in U \end{eqnarray*}$ dann liegt auch $\begin{eqnarray*} u+v \in U \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ liegt für alle $\begin{eqnarray*} s \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} s*u \in U \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$

nachweis von a) $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ liegen in U anschaulich, also im raum ist mir das klar, aber wie beweis ich dies?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist dies eine vorgehensweise, oder muss ich das allgemein zeigen und wie geht das dann?

danke

10.11.2007, 23:28

klarsoweit

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RE: untervektorraum
Du mußt genau diese Eigenschaften zeigen:

Zitat:

Original von marci_
für den untervektorraum gilt:

a) $\begin{eqnarray*} u,v \in U \end{eqnarray*}$ dann liegt auch $\begin{eqnarray*} u+v \in U \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ liegt für alle $\begin{eqnarray*} s \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} s*u \in U \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$

Am leichtesten ist dabei Punkt c). Warum ist $\begin{eqnarray*} 0 \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir als nächstes b). Wenn $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist, was muß dann gelten?

11.11.2007, 14:06

marci_

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punkt c) gilt, weil für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha*v_1=0 \end{eqnarray*}$
also es ist eine linearkombination von dn vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$
zu b) alle vielfachen von den vektoren liegen auch in U, aber wie schreib ich das am besten auf?
wie schon gesagt, anschaulich ist mir das alles klar, aber es scheitert glaub ich am aufschreiben...

11.11.2007, 14:23

klarsoweit

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RE: untervektorraum

Zitat:

Original von marci_
punkt c) gilt, weil für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha*v_1=0 \end{eqnarray*}$
also es ist eine linearkombination von dn vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Eine Linearkombination aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 \end{eqnarray*}$ . Und was machst du, wenn alpha_2 ungleich Null ist? Da kommst du nicht auf den Nullvektor.

Zitat:

Original von marci_
wie schon gesagt, anschaulich ist mir das alles klar, aber es scheitert glaub ich am aufschreiben...

Ich glaube, es scheitert eher daran, daß du dir jeweils nicht klar machst, was Bedingung ist und was zu zeigen ist. Bei b) ist Bedingung, daß $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ . Also nochmal die Frage, die du nicht beantwortet hast. Was muß gelten, wenn $\begin{eqnarray*} u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist?

11.11.2007, 16:09

marci_

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Lineare Hülle: die menge aller linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$

die linearkombination lautet: $\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: die menge aller linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v _2 \end{eqnarray*}$ ist ein untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

bei c) muss ich das abstrakt ausdrücken, doer kann ich sagen: für $\begin{eqnarray*} \alpha_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_2=-1 \end{eqnarray*}$ liegt die Null in

Ich glaube, es scheitert eher daran, daß du dir jeweils nicht klar machst, was Bedingung ist und was zu zeigen ist. Bei b) ist Bedingung, daß $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ . Also nochmal die Frage, die du nicht beantwortet hast. Was muß gelten, wenn $\begin{eqnarray*} u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist?

=> es muss gelten, dass auch $\begin{eqnarray*} s*u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist?
also dass auch $\begin{eqnarray*} \alpha*v \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist.

a) $\begin{eqnarray*} u,v \in U \end{eqnarray*}$ dann liegt auch $\begin{eqnarray*} u+v \in U \end{eqnarray*}$

dies gilt doch,da $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ eine linearkombination ist
und die lineare hülle die menge aller linearkombinationne von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ist

12.11.2007, 08:56

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Zitat:

Original von marci_
bei c) muss ich das abstrakt ausdrücken, doer kann ich sagen: für $\begin{eqnarray*} \alpha_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_2=-1 \end{eqnarray*}$ liegt die Null in

Dann hast du v_1 - v_2. Aber wieso sollte das Null sein? Das wäre doch nur dann der Fall, wenn v_1 = v_2 ist. Aber das ist hier nicht der Fall, wie man leicht sieht. Warum wählst du nicht alpha_1 = alpha_2 = 0 ?

Zitat:

Original von marci_
=> es muss gelten, dass auch $\begin{eqnarray*} s*u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist?
also dass auch $\begin{eqnarray*} \alpha*v \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist.

Offensichtlich verstehst du mich nicht. Es geht erstmal nicht darum, was gelten soll, sondern was aufgrund von $\begin{eqnarray*} u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ erstmal definitiv gilt. Also ich liefer mal die Antwort:

Wenn $\begin{eqnarray*} u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es offensichtlich Skalare alpha_1 und alpha_2 mit $\begin{eqnarray*} u = \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 \end{eqnarray*}$ .
Welche Überraschung. Augenzwinkern

Jetzt müssen wir zeigen, daß auch $\begin{eqnarray*} s \cdot u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist. Also schreiben wir uns s*u mal hin:
$\begin{eqnarray*} s \cdot u = s \cdot (\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2) = s \cdot \alpha_1 \cdot v_1 + s \cdot \alpha_2 \cdot v_2 \end{eqnarray*}$

Wir definieren nun $\begin{eqnarray*} \alpha_1^* := s \cdot \alpha_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_2^* := s \cdot \alpha_2 \end{eqnarray*}$
Dann ist also $\begin{eqnarray*} s \cdot u = \alpha_1^* \cdot v_1 + \alpha_2^* \cdot v_2 \end{eqnarray*}$ und damit ist also auch $\begin{eqnarray*} s \cdot u \in L(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$

Analog kannst du vorgehen, um zu zeigen, daß u+v in L(v_1,v_2) liegt.