Ziehen mit Zurücklegen - mit / ohne Reihenfolge

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Jules_K Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehen mit Zurücklegen - mit / ohne Reihenfolge
Hallo,

ich versuche mir im Moment - zwecks anstehender 6 stündiger Klausur - einige Dinge aus der Stochastik etwas "tiefgründiger" beizubringen, als sie im Unterricht behandelt werden.
Bisher hat das auch ganz gut geklappt, aber jetzt stehe ich vor einigen Problemen, die ich, so glaube ich, auf ein grundlegendes Kombinatorisches Problem gestoßen:

Beim Ziehen ohne zurücklegen gibt es bei den Formeln für "mit beachtung der Reihenfolge" und "ohne ..." einen einfachen Zusammenhang:

"Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n in auszuwählen und in verschiedenen Reihenfolgen anzuordnen ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten so viele auszuwählen mal der Anzahl der möglichen Reihenfolgen." <- in etwa...
Soweit habe ich die beiden Formeln einzeln Verstanden (also ihre Interpretation oder Herleitung) und auch den Zusammenhang.

Auch für Ziehen mit Zurücklegen habe ich die beiden Formeln einzeln Verstanden. Was mir nun bei meinen Überlegungen weiterhelfen würde wäre ein ähnlicher Zusammenhang zwischen diesen beiden - und zwar sowohl Formal (also als Gleichung) als auch anschaulich.

Frage nun: gibt es einen solchen und wenn ja, wie lautet er?

Vielen Dank im Voraus,
Julian

PS: Durch das viele hin und her überlegen hab ich inzwischen ne ziemliche Denkblockade, also entschuldigt bitte, wenn ich was offensichtliches übersehe oder irgendwo mist erzähle.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jules_K
Frage nun: gibt es einen solchen und wenn ja, wie lautet er?

Wenn du eine vergleichbare Produktbeziehung meinst: Die gibt es nicht.

Der Grund ist folgender: Beim ungeordneten Ziehen (Kombinationen) ohne Zurücklegen sind unter den gezogenen Elementen alle voneinander verschieden. Wenn man diese dann permutiert, was auf jeweils Arten geschehen kann, dann entstehen jeweils andere geordnete Ziehungen.

Beim Ziehen mit Zurücklegen ist das anders: Da können u.U. mehrere Elemente einer Ziehung einander gleich sein, je nach Ziehung. Das heißt dann aber auch, dass es i.a. unterschiedlich viele Permutationen für jede ungeordnete Ziehung gibt!!! Man kann nur sagen, dass es pro Ziehung maximal sind, manchmal aber auch , , usw.

Folglich kann man keine Gleichung der Art , sondern aus den voranstehenden Überlegungen allenfalls die Ungleichung



folgern.
Jules_K Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke schonmal, ich hatte sowas schon befürchtet...

Ich kann ja mal mein Ursprüngliches Problem schildern, falls ich es noch zusammenbekomme, vielleicht sieht jemand meinen Denkfehler oder meine Barriere:

Die Binomialverteilung kann man ja anhand des Urnenmodells herleiten: Aus einer Urne mit Kugeln, dabei schwarze, werden gezogen. Die Binomialverteilung gibt dann die Wahrscheinlichkeit für schwarze Kugeln unter den an.
Herleitung: Es gibt mögliche Stichproben und davon enthalten schwarze Kugeln.
Wahrscheinlichkeit für eine solche Stichprobe ist also

Was mich hier irritert ist, dass hier Formeln benutzt werden, in denen die Reihenfolge der entnahme eine Rolle spielt.
Bei der hypergeometrischen Verteilung ist dies nicht der Fall - zumindest auf den ersten Blick, aber auch diese kann man so umformulieren:
Deshalb habe ich nach einer Möglichkeit gesucht, die Binomialverteilung genau andersherum umzuformen, also so, dass in ihr Ausdrücke ohne Beachtung der Reihenfolge stehen.
Am Baumdiagramm zu dem jeweiligen Versuch sieht man natürlich, dass z.B. bei ersterem Versuch die Anzahl der möglichen Pfade ist, also die Reihenfolge doch wichtig ist, aber irgendwie bringt mich das durcheinander.

Auch für die beiden Terme über dem Bruchstrich habe ich zwar eine Interpretation, aber die Bezieht sich nicht auf den oben genannten Baum. Ich glaube auch eine solche "baumnahe" Interpretation von z.B. würde mir helfen...

Gleichzeitig frage ich mich, wie sich die Verteilungen ändern würden, wenn ich die Reihenfolge in den jeweiligen Versuchen doch beachten würde; wie wäre z.B. die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: "Anzahl der Richtigen" bei einem Lotto, in dem die Reihenfolge der gezogenen Zahlen / der Tipps nicht egal ist? Bliebe sie vielleicht sogar gleich? Oder muss ich bei solchen Versuchen eine andere Frage stellen, also X eine andere Bedeutung geben?

Puh, ich hoffe, jemand steigt dadurch... aber ich glaube, das umreißt meine Verwirrung ganz gut. Bin dankbar für jeden Fingerzeig.

mfG Julian
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