delta funktion

10.11.2007, 17:32

Monstar

delta funktion

wie kann ich die funktion $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~v(x)*\phi_n(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi_n(x)=\int_{-\infty }^{x}~(-\delta_n(x-a)+\delta_n(x-b)~dx \end{eqnarray*}$ auffassen?
ich hoffe dass mir das so konstruierte phi das integral auf $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~v(x)~dx \end{eqnarray*}$ einschränkt. nur leider hab ich keine ahnung wie ich das begründen soll. was genau macht denn diese deltafunktion wenn man sie von -unendlich bis x integriert?

11.11.2007, 11:53

Dual Space

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RE: delta funktion
Was bedeutet der Index n bei der Deltafunktion?

11.11.2007, 11:55

Monstar

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unser assistent hat aufgeschrieben dass es sich dabei um eine diracfolge handelt, was mir leider auch nicht wirklich was sagt.
sorry hatte ich vergessen zu erwähnen

11.11.2007, 11:56

Dual Space

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Diracfolge sagt mir leider auch nichts.

Aber unabhängig davon hat die Deltafunktion eine wunderschöne Faltungseigenschaft, denn es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{D(f)} f(x)\delta(a-x)\dd x=f(a) \end{eqnarray*}$ .

PS. D(f) ist hier der Definitionsbereich von f.

11.11.2007, 11:58

20_Cent

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Ich würde vermuten, dass es sich um eine Funktionenfolge handelt, die Punktweise gegen die Deltafunktion konvergiert, also zum Beispiel eine Gaußkurve mit immer schmaler werdenden Peak.
mfG 20

11.11.2007, 12:00

Monstar

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hm ok dachte das wäre irgendwie bekannt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_{}^{}~u(x)*\delta_n(x)~dx = u(0) \end{eqnarray*}$ (so hat er es aufgeschrieben, schätze die integralgrenzen sind -unendlich bis unendlich)
nur wäre das in diesem fall ja die 1-funktion und dann hätte ich -1 + 1 = 0 was auch nicht sein kann..

11.11.2007, 12:07

Monstar

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Zitat:

Original von Dual Space
Diracfolge sagt mir leider auch nichts.

Aber unabhängig davon hat die Deltafunktion eine wunderschöne Faltungseigenschaft, denn es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{D(f)} f(x)\delta(a-x)\dd x=f(a) \end{eqnarray*}$ .

PS. D(f) ist hier der Definitionsbereich von f.

ja diese eigenschaft musste ich für die andere seite der gleichung verwenden, es soll gezeigt werden dass für u stetig mit schwacher ableitung v gilt: $\begin{eqnarray*} u(b)-u(a) = \int_{a}^{b}~v(x)~dx \end{eqnarray*}$

wobei für eine funktion u mit schwacher ableitung v für jede testfunktion phi gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\phi'(x)*u(x)~dx = -\int_{}^{}~\phi(x)*v(x)~dx \end{eqnarray*}$

11.11.2007, 12:08

Dual Space

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Zitat:

Original von Monstar:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_{}^{}~u(x)*\delta_n(x)~dx = u(0) \end{eqnarray*}$ (so hat er es aufgeschrieben, schätze die integralgrenzen sind -unendlich bis unendlich)
nur wäre das in diesem fall ja die 1-funktion und dann hätte ich -1 + 1 = 0 was auch nicht sein kann..

Was wäre die 1-Funktion? Und warum?

11.11.2007, 12:12

Monstar

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nunja wiegesagt ich hab keine so rechte ahnung wie ich mit dieser deltafunktion umgehen soll, daher auch die frage am anfang.
ich meinte in $\begin{eqnarray*} \phi_n(x)=\int_{-\infty }^{x}~(-\delta_n(x-a)+\delta_n(x-b)~dx \end{eqnarray*}$ steht zweimal die delta-funktion unter dem integral ohne irgendwas dabei daher $\begin{eqnarray*} \phi_n(x)=\int_{-\infty }^{x}~(-1*\delta_n(x-a)+1*\delta_n(x-b)~dx \end{eqnarray*}$ , nur glaube ich bin ich damit auf dem holzweg..

11.11.2007, 12:59

Dual Space

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Also ganz allgemein gilt $\begin{eqnarray*} \int_a^b \delta(x-\xi)\dd x=\begin{cases} 1 &: \xi\in[a,b]\\ 0 &: \xi\not\in[a,b]\end{cases}. \end{eqnarray*}$

11.11.2007, 13:32

Monstar

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hm das hilft mir schonmal, kann es sein dass im integranden dann steht delta(y)? denn ein integral mit der integrationsvariablen als grenze ist doch nicht erlaubt oder?

11.11.2007, 14:53

Monstar

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gut dann hab ichs jetzt hoffentlich verstanden:
dieses integral gibt mir einfach eine funktion die eins ist zwischen a und b, sonst 0 und macht damit genau das was ich von ihr will, danke für eure hilfe!

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