Integral Beweis Hilfe!

16.04.2005, 16:37

t0by

Integral Beweis Hilfe!

Tach zusammen,

bin grad fleissig dabei üben für die Abi Klausur am Montag und hab da folgendes Problem mit einer Aufgabe:

Beweisen Sie das für alle n ungleich m folgende Aussage gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-pi}^{pi}~sin(nx)*sin(mx)~dx =0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt über die Produktintegration integriere, drehe ich mich im Kreis, heisst das hinten wieder o.g. steht, wenn ich das wieder integriere wird die Formel immer länger und es bleibt stehen.

Wäre euch für einen Lösungsansatz sehr dankbar! smile

16.04.2005, 16:55

stef123

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Tip:

wende die Produktregel an, solange bis du -int(sin(nx)sin(mx)dx auf der linken seite stehen hast. Dann addierst du int(sin(nx)sin(mx)dx auf beiden seiten. und dann hast du

2*int(sin(nx)sin(mx)dx auf der rechten seite stehen. Der Rest sollte klar sein.

P.S.: Ich kann dir nicht garantieren, dass es funktioniert. Habe es nicht nachgerechnet. Der Trick funktioniert aber häufig bei solchen scheinbar unendlichen Produktintegration

16.04.2005, 23:35

Mathespezialschüler

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Ein Blick in die Formelsammlung und die Aufgabe ist sogut wie gelöst:
Benutze

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2} \cos(\alpha-\beta)-\frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$

@stef123
Du musst noch auf die inneren Funktionen mx und nx achten, dadurch kommt es zu Faktoren, die aus n und m bestehen! Deshalb kommst du nicht auf das negative Integral, aber mit der richtigen Produktintegration klappt auch deine Methode - allerdings nur für $\begin{eqnarray*} m\neq n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

17.04.2005, 12:04

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Deshalb kommst du nicht auf das negative Integral, aber mit der richtigen Produktintegration klappt auch deine Methode - allerdings nur für $\begin{eqnarray*} m\neq n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

wie gut, dass das alledings auch schon in der aufgabenstelung gefordert ist Augenzwinkern

"Beweisen Sie das für alle n ungleich m folgende Aussage gilt:"

mfg jochen

17.04.2005, 15:54

t0by

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Danke für eure Hilfe werde das jetzt mal nachrechnen.

Hmm irgendwie komm ich nicht auf die Lösung, kann jemand vielleicht mal den Ansatz etwas weiterführen bzw. mir o.g Tatsache genauer erläutern? Hilfe

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte bneutze die edit-Funktion! (MSS)

17.04.2005, 17:49

4c1d

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$\begin{eqnarray*} \int~Sin(nx) Sin(mx)~dx = \frac{-Sin(nx) Cos(mx)}{m}+\frac{n}{m} \int~Cos(nx) Cos(mx)~dx \end{eqnarray*}$
Jetzt nochmal Produktintegration durchführen, damit du auf der rechten Seite auch ein Vielfaches des Integrals $\begin{eqnarray*} \int~Sin(nx) Sin(mx)~dx \end{eqnarray*}$ stehen hast

17.04.2005, 18:06

Mathespezialschüler

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Hhhm, was ist denn daran so schwer? Welchen Ansatz hast du denn jetzt gewählt? Bei meinem einfach einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sin nx \cdot \sin mx=\frac{1}{2} \cos(nx-mx)-\frac{1}{2}\cos(nx+mx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} \cos((n-m)x)-\frac{1}{2}\cos((n+m)x) \end{eqnarray*}$

und das wirst du ja wohl noch integrieren können (natürlich muss auch hier $\begin{eqnarray*} m\neq n \end{eqnarray*}$ gelten).
@LOED
Wer lesen kann ... danke Augenzwinkern

17.04.2005, 18:28

t0by

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@4c1d
Hmm habe dann ganz hinten folgendes stehen (hab m und n vertauscht weil ich u' und v umgekehrt gewählt habe, das sollte aber nichts ändern):
$\begin{eqnarray*} -\int_{-\pi}^{\pi}~\frac{1}{n}*sin(nx)*m*sin(mx)~dx \end{eqnarray*}$

@Mathespezialschüler
Damit scheint es zu gehen aber die Formel steht gar nicht bei mir Formelbuch drin und habe sie auch noch nie benutzt, es wird also erwartet das so wie o.g. zu lösen, leider bin ich zu doof Augenzwinkern

17.04.2005, 18:53

4c1d

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Zitat:

Original von t0by
@4c1d
Hmm habe dann ganz hinten folgendes stehen (hab m und n vertauscht weil ich u' und v umgekehrt gewählt habe, das sollte aber nichts ändern):
$\begin{eqnarray*} -\int_{-\pi}^{\pi}~\frac{1}{n}*sin(nx)*m*sin(mx)~dx \end{eqnarray*}$

Habe ich nicht so. Zeig mal deine (eventuellen) Zwischenschritte, dein u, v usw.

17.04.2005, 18:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von t0by
@Mathespezialschüler
Damit scheint es zu gehen aber die Formel steht gar nicht bei mir Formelbuch drin und habe sie auch noch nie benutzt, es wird also erwartet das so wie o.g. zu lösen, leider bin ich zu doof Augenzwinkern

Warum denn immer so machen wie es gefordert ist, wenns auch einfacher geht?! Ist ja genauso richtig und da kann dir keiner was ankreiden.
Notfalls leitest du die Formel halt schnell selbst her!

17.04.2005, 19:28

t0by

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@Mathespezialschüler
Geht um das Problem ansich und das will ich über den Ansatz lösen, wenn ich so ne Formel da nehme muss ich die auch herleiten und das will ich nich smile

@c4d1
1. Schritt:
u=-1/n*cos(nx)
u'=sin(x)
v=sin(mx)
v'=m*cos(mx)
$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{n}*cos(nx)*sin(mx)]_{-\pi}^\pi + \int_{-\pi}^{\pi}~-1/n*cos(nx)*m*cos(mx)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{n}*cos(nx)*sin(mx)]_{-\pi}^\pi + m/n \int_{-\pi}^{\pi}~cos(nx)*cos(mx)~dx \end{eqnarray*}$

3. Schritt:
u=1/n*sin(nx)
u'=cos(nx)
v=cos(mx)
v'=m*sin(mx)

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{n}*cos(nx)*sin(mx)]_{-\pi}^\pi + m/n [1/n*sin(nx)*cos(mx)-\int_{-\pi}^{\pi}~1/n*sin(nx)*m*sin(mx)~dx] \end{eqnarray*}$

17.04.2005, 19:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von t0by
muss ich die auch herleiten und das will ich nich smile

Und warum nicht?
Aber wenn du meinst, du müsstest das über Produktintegration machen, bitte. Jedem das seine Augenzwinkern

17.04.2005, 19:42

t0by

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Ja ich weiss das es über die Formel geht, aber wenn dann kommt morgen in der Klausur was dran, das mit der part. Integration gemacht werden muss.

Ich weiß Deine Hilfe zu schätzen aber jetzt helf doch als Spezialschüler bitte bitte bei meinem Ansatz Tanzen

17.04.2005, 19:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von t0by
$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{n}*cos(nx)*sin(mx)]_{-\pi}^\pi + \int_{-\pi}^{\pi}~-1/n*cos(nx)*m*cos(mx)~dx \end{eqnarray*}$

Das "-" rechts muss weg.

Zitat:

Original von t0by
3. Schritt:
u=1/n*sin(nx)
u'=cos(nx)
v=cos(mx)
v'=m*sin(mx)

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{n}*cos(nx)*sin(mx)]_{-\pi}^\pi + m/n [1/n*sin(nx)*cos(mx)-\int_{-\pi}^{\pi}~1/n*sin(nx)*m*sin(mx)~dx] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=-m\cdot \sin(mx) \end{eqnarray*}$ !! Entsprechend muss das "-" rechts wieder zu einem "+" werden.
Rechts musst du dann natürlich die Klammern beachten und ausmultiplizieren und kommst damit auf

$\begin{eqnarray*} +\int_{-\pi}^{\pi}~\frac{m^2}{n^2}\cdot \sin(nx)\sin(mx)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

und nicht auf das:

Zitat:

Wahrscheinlich hattest du oben aber vergessen, zu sagen, dass du noch die Klammer hast, war also nur ein Missverständnis.

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