Differentiale

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18.02.2004, 22:32	Eagleeye	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentiale Hallo, Leute! in der Schule (12. Klasse) haben wir gerade das Thema Analysis abgeschlossen und beginnen nun mit Lineare Algebra. Doch habe ich noch eine mir sehr wichtige Frage: Bei der Integration durch Substitution gibt es doch zwei verschiedene Varianten eine Stammfunktion zu ermitteln: 1.V.: $\begin{align} \Bigint_{a}^b~f(g(x))g^{'}(x)~dx=\Bigint_{g(a)}^{g(b)}~f(z)~dz \end{align}$ 2.V.: $\begin{align} \Bigint_{a}^b~f(x)~dx=\Bigint_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}~f(g(t))g^{'}(t)~dt \end{align}$ (Herleitung ueber Kettenregel oder Beweis durch HDI) Bei der 1.V. muss man die Form der linken Gleichungsseite erkennen, bei der 2.V. geschickt mit einem g(x) verketten, und somit die zu integrierende Funktion vereinfachen! Natuerlich ruecksubstitueiren nicht vergessen, es sei denn man hat konkrete Grenzen gegeben. (Das wisst ihr natuerlich alles, aber ihr muesst ja sehen, was ich schon weiss, damit ihr mir gut helfen koennt.) Nun, meine Frage ist: Wieso darf man einfach so mit Differentialen rumrechen? Es sind doch nur Symbole, die anzeigen, nach welcher Variablen integriert wird? Auch mein Lehrer sagte mir, dass das Rechnen mit ihnen nur eine angenehme Rechen- vereinfachung darstellt! Auch in vielen Uniskripten lese ich z.B.: "Leider können wir den symbolischen Zwischenschritt derzeit nicht exakt begründen...", aber noch vieles mehr!! Laesst sich diese dx-Schreibweise eigentlich jederzeit in die uebliche f'(x)-Schreibweise ueberfuehren???? Vor allem bei Differentialgleichungen, scheint es so, dass man diese nur mit Hilfe von Differen- tialengebrauch loesen kann, ist dem so??? Oder muss man nur geschickt substituieren??? Also, in der Schule haben wir Gott sei Dank den Differentialquotienten dy/dx nicht kennengelernt, sondern nur den Grenzwert des Differenzen- quotienten. Man kann doch nicht einfach schreiben: $\begin{align} f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=!!!\frac{dy}{dx}!!! \end{align}$ , obwohl es plausibel ist, das ist nur Symbolik! Mag sein, dass das Rechen damit gut funktioniert, aber so richtig beweisen kann man das ja nicht!!! Mit Symbolen kann man nicht rechnen wie mit Zahlen. Was ich sehr komisch finde, dass die Mathematik einerseits auf hohe Exaktheit und Richtigkeit wert legt, andererseits aber noch an diese historische, altertuemliche Schreibweise haengt, die meiner Meinung nach nur das wahre Problem verschleiert und dieses zugleich nur mit Glueck umgeht! Ich bin total verzweifelt. Ich will im spaeteren Studium auf gar keinen Fall mit Differentialen rechnen muessen, wenn ich sie nicht verstanden habe. Es muss doch auch ohne sie funktionieren. Man muss doch bei der 2.V. einfach nur mit einer geeigneten Funktion verketten, dann mit der Ableitung dieser Verkettungsfunktion malnehmen und Grenzen umrechnen. Der Hokuspokus ( X( ) mit den Differentialen ist doch nicht noetig, oder? Wie sieht es denn in der hoeheren Mathematik aus??? Also in der Vektoranlysis wird z.B. auch unverschaemt oft mit diesen Dingern gerechnet. Ich habe auch schon mal solche Matrizen gesehen, wo lauter Differentiale drinstanden, ich glaub' das war die Jacobi... . Haben die Differentiale auch in der Mathematik einen so hohen Stellenwert, also in der Physik ist das ja egal, da muss nichts exakt und bewiesen sein, es muss nur funktionieren, da dort die Mathematik nur angewandt wird. ============================================ Mit dem Rechnen mit Differentialen meine ich folgende symbolische Rechnung: $\begin{align} \Bigint_{a}^b~f(x)~dx=? \end{align}$ $\begin{align} ->x:=x(t) \end{align}$ $\begin{align} \Bigint_{a}^b~f(x(t))~dx \end{align}$ Es soll jetzt ja nach t integriert werden, wie kriege ich bloss das "dt" da hin, komisch: $\begin{align} x^{'}(t)=!!!\frac{dx}{dt}!!! \Rightarrow dx=x^{'}(t)dt \end{align}$ $\begin{align} \Rightarrow \Bigint_{a}^b~f(x)~dx=\Bigint_{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)}~f(x(t))x^{'}(t)~dt \end{align}$ :P ============================================ Ist das Rechnen mit den Differentialen nun mathematisch exakt begruendbar, oder ist es nur ein Mittel, um sich Arbeit zu ersparen; sozusagen ein gluecklicher Zufall, dass es damit so schoen klappt?????? Wenn ihr mir diesen Sachverhalt erklaeren koennt, dann mach' ich diesen hier: Sind echt genial diese Smilies! :] Vielen Dank.
19.02.2004, 13:02	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube du äußerst hier Vorbehalte, die auch berühmteste Mathematiker im 19. Jh. gegen die Differentialrechnung hatten Aber für die Integration, die du angibst hast du den Beweis doch selbst genannt. Ansonsten weiss ich nicht genau, was du mit "Rechnen mit Differtentialen" meinst. Die Einträge in der Jacobi-Matrix sind partielle Ableitungen und sollten solche geschweiften d´s gewesen sein. Das ist nur ein Symbol und ein $\begin{align} \frac{df}{dx} \end{align}$ mit geschweiften d´s schreibt man häufig auch als $\begin{align} f_x \end{align}$ . Eine partielle Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion bildest du indem du nach der entsprechenden Variable ableitest, als sei es eine eindim. Fkt. und alle anderen Variablen als Konstanten betrachtest. Gruß vom Ben
19.02.2004, 13:26	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Rechnen mit Differentialen ist imho schon mathematisch klar formuliert, so lange man sich an die Definitionen hält. Ein Differntial an sich ist auch keine Zauberei. Ein D. einer unabhängigen Variable ist einfach ein (kleiner) "Zuwachs" (Bronstein) der Größe. Das D. Einer Funktion ist dann einfach über den D.-Quotienten definiert. Wenn man sich dann noch klar mach, dass Integration einer Summe übe viele kleine D. ist, dann kann man damit gut rechnen. Für viele DGL und Integralgleichungen etc. muss man das oft auch.
19.02.2004, 15:51	Eagleeye	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, BenSisko! Also den Teil, wo ich gezeigt habe, wie man ueber diesen symbolischen Schritt zur Substitutionsformel kommt, kann man auch als Beweis dafuer ansehen, dass das Rechnen damit so in Ordnung ist??? Das habe ich mir auch schon mal gedacht, aber zufrieden geben konnte ich mich damit aber trotzdem noch nicht! Bronstein? Ist das nicht eher sowas wie 'ne bessere Formelsammlung? Stehen da etwa auch solche wichtigen Erklaerungen drin? Wenn ja, dann wuerde ich es mir auch mal anschaffen. Koennt ihr mir vielleicht noch Buecher empfehlen, wo die Differentiale besonders gut erklaert werden?? Ich wuerde mich sehr freuen, wenn noch andere etwas darueber schreiben wuerden! Wie gesagt, von Differentialen habe ich in der Schule nie was gehoert, und ich weiss nicht was man noch so alles wissen muss, um diese Dinger gut zu verstehen! Aber trotzdem, auch in der Literatur finde ich immer noch, dass das Rechnen mit Differentialen, so wie ich es bei dieser Herleitung gemacht habe nicht wirklich anerkannt wird! Ich geb'euch mal ein ausgeschnittenes Bild aus einer pdf-Datei der Uni Paderborn in den Anhang! !!Da steht auch, dass es nur eine Merkregel ist, was sagt ihr dazu?? Danke nochmal. // Editiert von Daniel ... Plz keine Doppelpost einfach Edit benutzen (Posts zusammen gefügt) Man, das hat gedauert bis ich das endlich unter 20Kb gekriegt habe! Ich hoffe, ihr koennt es noch lesen. Gruss Eagleeye
19.02.2004, 16:45	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du viel mit Mathe zu tun hast solltest du auf jeden Fall mal in den Bronstein (Bonstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik) reinsehen. Das ist eine Formelsammlung die eigentlich die komplette Mathematik abdeckt, mit allen Sätzen, Lemmata, Definitionen etc. Was dein Problem mit dem Differential ist verstehe ich nicht so ganz. Das Differential einer Funktion y einer Veränderlichen x ist $\begin{align} dy = f'\left( x \right)dx \end{align}$ . f' ist der Differentialquotionent. Dann ist $\begin{align} dx = \frac{{dy}}{{f'\left( x \right)}} \end{align}$ . War das dein Problem? Für Vollständige Definitionen mit allem Drum und Dran kannst du auch mal in eine Analysis Lehrbuchreihe oder ein Lehrbuch zu Differentialgleichugnen schauen. Da sollte auch was dazu drin stehen
19.02.2004, 17:53	Eagleeye	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber welche Buecher denn? Ich habe keine Lust solange Geld auszugeben bis ich das richtige gefunden habe. Ich habe schon einen Blindgaenger! An der entscheidenden Stelle steht: "Wir wollen dem Rechnen mit Differentialen hier noch keine praezise Bedeutung beilegen, sondern uns damit begnuegen,... " [Hildebrandt, Analysis 1] Wenn das Rechnen mit den Differentialen doch so bedeutend ist, warum wird es dann in Analysisbuechern nicht erklaert und im Schulunterricht nicht erklaert oder gar erwaehnt??
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19.02.2004, 19:02	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja mal in einer UB nach einem Gastleserausweis oder so fragen. Ich glaube man kann auch als Externer (Schüler) unter gewissen Auflagen Bücher ausleihen. Kaufen würde ich da nix (außer dem Bronstein). Ich habe völlig aufgehört (Fach-)Bücher zu kaufen, da die meistens zu teuer sind und man sie nicht so lange (und oft) braucht. So wichtig und außergewöhnlich sind D. auch gar nicht. Ist halt etwas nette "Spielerei", letztendlich macht man dann meistens doch das altbekannte ableiten oder integrieren (was man können sollte, deshalb kommt das auch so intensiv in der Schule).
23.02.2004, 20:13	Eagleeye	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Auch andere, die glauben, die Differentiale verstanden zu haben, sind herzlich eingeladen zu antworten! Oder habe ich mein Problem nicht klar genug dargestellt?; wenn ja, dann schreibe ich noch was dazu. Gruss Eagleeye
23.02.2004, 21:27	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
dy/dx ist der Differenzialquotient nach Leibniz, und das ist nichts anderes als $\begin{align} \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \end{align}$ . Es handelt sich also um nichts weiter als einen Grenzwert.
24.02.2004, 09:09	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ihm, glaube ich, schon klar. Es geht doch mehr darum, dass es die Differentiale, die 'd's, auch einzeln gibt und man sie (z.B. in DGL, Integralgleichungen..) auch in Gleichungen "bewegen" kann? Z.B. das man die DGL $\begin{align} y' = - 2x\left( {y^2 - y} \right) \end{align}$ lösen kann, wenn man $\begin{align} \frac{{dy}} {{dx}} = - 2x\left( {y^2 - y} \right) \end{align}$ schreibt, dann $\begin{align} \frac{{dy}} {{\left( {y^2 - y} \right)}} = - 2x \cdot dx \end{align}$ rechnet, also die 'd's trennt und so auf $\begin{align} \ln \left\| {\frac{{y - 1}} {y}} \right\| = - x^2 + k{\text{;usw}}{\text{.}} \end{align}$ kommt. Oder wie in dem Beispiel zur Substitution das Differential zur neuen Variablen bestimmt. Was genau das Problem ist, ist mir aber leider noch nicht klar geworden.
24.02.2004, 18:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Man kann formal mit den Differentialen dx, dy, df, dg, du, ... rechnen, auch wenn sie infinit klein sind und erhält dadurch interessante Ergebnisse. Beispiele dafür finden sich zahlreich. ---- Kettenregel: y = f[g(x)] $\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} \end{align}$ $\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx} \end{align}$ Diese Gleichung ist richtig, weil man formal durch dg kürzen kann. ______________________________________________________ Differenzieren - Integrieren* sind revers: y = F(x) dy/dx = dF(x)/dx = f(x) .. Ableitungsfunktion < - > *dy = f(x)dx** $\begin{align} \int~dy~ = \int~f(x)~dx \end{align}$ y = F(x) .. Stammfunktion ______________________________________________________ Integral durch Substitution: $\begin{align} \int~(3x + 5)^3dx~ = ? \end{align}$ Substitution: u = 3x + 5 $\begin{align} \frac{du}{dx} = 3 \end{align}$ du = 3dx dx = du/3 $\begin{align} \int~(3x + 5)^3dx~ = \int~u^3du / 3 = (1/3)\int~u^3du \end{align}$ So schön und verhältnismäßig einfach kann das Arbeiten mit Differentialen (zumindest) in der Schule sein. ----------- Edit: Anhang ---------- Eine interessante Anwendung ist noch das Finden der Ableitung der Umkehrfunktion: Beweis, dass f{^-1}' = 1/f'(x) ist. Der Zusammenhang besteht zwischen der Ableitung einer Funktion und deren Umkehrfunktion in impliziter Schreibweise, also noch VOR der Vertauschung der Variablen, wie recht einfach (in formaler Differentialschreibweise) zu zeigen ist: f: y = f(x) f{^-1}(x) = f(y) f ' = dy/dx f{^-1}' = dx/dy = 1 / (dy/dx) Somit ist tatsächlich f{^-1}' = 1/(f ') [Mit mimetex kann man leider die Ableitungsstriche nicht schreiben ...] Mit Hilfe dieser Beziehung kann man nun die Ableitung von Funktionen bestimmen, wenn die Ableitung der Umkehrfunktion bekannt ist. Beispiel: y = arcsin(x) y' = dy/dx = ? Umkehrfunktion: x = sin(y) dx/dy = cos(y) dy/dx = 1/cos(y) jetzt muss noch cos(y) mittels sin(y) = x in das Argument x umgerechnet werden: cos²(y) = 1 - sin²(y) = 1 - x² cos(y) = sqrt(1 - x²) -> dy/dx = 1/(sqrt(1 - x²)) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Gr mYthos
24.02.2004, 20:37	Eagleeye	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, an alle! Ich danke auch diejenigen, die jetzt noch geantwortet haben! Es hat doch kein Zweck! Ich muss, so glaube ich, mein Problem wohl ausfuehrlicher und klarer darstellen! (...Meine Schuld!) Ich antworte spaeter nochmal, O.K.? Wichtig: Das Thema ist noch lange nicht beendet, so schnell gebe ich nicht auf! Das ist zum Schreien: Da lernt man in der Schule, dass $\begin{align} \int...dx \end{align}$ als eine Art Klammer zu verstehen ist; man koennte praktisch auch auch das hier schreiben: "FindedieStammfunktion"( f(x) )"Schoenes Zeichen" Mehr bedeutet es im Prinzip doch auch gar nicht! Gut, das geschwungene "S" erinnert noch mal schoen daran, dass man eigentlich aufsummiert, und zwar unendlich kleine Stuecke, was das "dx" zum Ausdruck bringt, aber das Problem mit dem Summieren haben wir doch gar nicht mehr, wegen des schoenen HDI's!!! Man kann diese "Klammer" als eine Art Operator verstehen, der sagt: Suche die Stammfunktion von f(x) und mehr nicht! Das dx ist doch nur ein Teil, ein Fetzen, des symbolischen Operators!!! Wie waere es wenn ich jetzt einfach definieren wuerde: f'(x)=(blabla)/("SchoenesZeichen") Ha! Da kann man doch schreiben: "FindedieStammfunktion"( f(x) )"Schoenes Zeichen" "FindedieStammfunktion"( f(x) )"blabla/f'(x)" (Bloedsinn, oder? Das denke ich eben bei der Anwendung!) Naja, wie gesagt, ich schreibe noch was. Ich recherchiere noch ein bisschen! ... Wenn man dann eben erfaehrt, dass wirklich dy/dx=lim.... irgendwie Sinn macht, dann bekommt doch dieses dx beim Integral eine voellig andere Bedeutung! Das Wissen bricht wie ein Kartenhaus zusammen!!!! Und in den Skripten: immer dieses hin und her, definiert und nicht definiert, Merkregel, formale Schreibweise und blablabla... Also ich meld' mich spaeter noch mal! (... muss HA machen) P.S.: Die Funktionalitaet der Differentiale stelle ich doch gar nicht in Frage, das sehe ich doch,wie das klappt! Nur haette ich gerne eine logische Herleitung und nicht so ein dummes Definitionsgequatsche! Ich weiss gar nicht, wie ihr das Integrieren kennegelernt habt, dass ihr diese Differentiale einfach so akzeptieren koennt?? Gruss Eagleeye
25.02.2004, 12:44	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, aber mir ist dein Problem mit D. immer noch nicht ganz klar geworden. Hast du die Definitionen von Differentialen (von Funktionen einer Variablen und der Variablen), die Funktion von D. im Zusammenhang mit Ableitungen, Differentialgleichungen etc. verstanden? Bei Integration muss man das 'd' auch nicht so zwanghaft gekoppelt an das "geschwungene 'S'" sehen. f(x)dx bedeutet erst einmal das Produkt von f an der Stelle x mit einem (infinitesimal) kleinen "Zuwachs" (Intervall) von x (von der gleichen Stelle aus). Das 'S' bewirkt dann die Summation.
28.02.2004, 13:53	movarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Ich denke schon, dass ich dein Problem verstehe: Eigentlich dachtest du immer, dass dx im Integral sei nur eine Schreibeweise, die andeutet, dass nach x integriert werden soll und plötzlich fängt man an, damit wie mit einer ganz normalen Zahl zu rechnen, erweitert zum Beispiel mit dt/dt oder Ähnliches. Ehrlich gesagt weiß ich nicht, ob es dafür eine streng mathematische Rechtfertigung gibt, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass man sie mit Schulwissen nicht verstehen könnte. Ein paar Kommentaren im Thread entnehme ich, dass du Schüler bist, stimmt das?. Ich würde mir erstmal ein Buch zur Differentialrechnung im R^n anschauen, dort wird der Begriff es Differentials nämlich eigentlich überhaupt erst eingeführt (als lineare Approximation) und mir dann vielleicht ein bisschen Wissen über modere Vektoranalysis aneignen, dort scheint auch ziemlich viel mit Differentialen gearbeitet zu werden, allerdings auf einer vernünftigen mathematischen Basis. An Differentialen ist also auf Dauer kein Vorbeikommen, wie du es dir wohl wünschen würdest. Es könnte sein, dass du, wenn du das gemacht hast, sofort siehst, warum das übliche Herumgerechne doch seine Richtigkeit hat, garantieren kann ich das aber nicht (ich selbst werde wohl noch eine Weile brauchen, bis ich die moderne Vektoranalysis verstehen kann, ich kenne allerdings deinen Kenntnisstand nicht). Ich hoffe, ich konnte dir zumindest das Gefühl geben, verstanden zu werden. Gruß Philipp
28.02.2004, 15:47	Eagleeye	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, movarian! Ja, ich bin noch Schueler (12. Klasse)! Danke fuer deine warmen, aufmunternden Worte. Ich bin jetzt drauf und dran mir das Buch Calculus von R. Saale zu besorgen. Bei Amazon gibt es das nur noch gebraucht, muss also erst in der UB nachgucken. Kennt einer dieses Buch?? Ist es zu gebrauchen?? Taugt es was?? Geht es ausfuehrlich auf die Differentiale ein?? Danke.
28.02.2004, 19:07	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi (mal wieder ). Wenn du in einer Uni-Stadt wohnst kannst du doch einfach mal zur UB gehen. Dort gibt es (gewöhnlich) einen Präsenzbestand an Lehrbüchern. Die kannst du einfach aus dem Regal nehmen und drin "schmökern" (wenn man das bei Mathebüchern überhaupt machen kann). Da fragt keiner nach einem Studentenausweis oder sonstwas. Solltest du auf jeden Fall machen bevor du irgendwas kaufst. Eine Sache interessiert mich noch: Warum faszinieren dich Differentiale so? Für die Schule sind sie doch völlig irrelevant und wenn du dir einfach irgendein Mathethema aneignen willst von dem der Lehrer wenig Ahnung hat kannst du dir auch Gruppen-, Funktionentheorie, Rand und Eigenwertprobleme Partieller Differentialgleichungen (mit Differential!) oder sonstwas ansehen :P
28.02.2004, 19:15	movarian	Auf diesen Beitrag antworten »
In das Buch habe ich mal reingeschaut, wenn ich mich recht erinnere, und es schien den Anspruch zu haben, sämtliche Themen der Mathematik zu vereinen, was gar nicht gelingen kann. Ich bezweifle, dass es mathematisch so exakt ist, dass es näher auf die Schreibweise der Differentiale eingeht. Aber rumblättern kostet ja nichts. Ich habe gehört, dass der Heuser sehr ausführlich und genau ist. Du kannst ja mal in den 1. Teil seiner Analysisreihe reinschauen, dort sollte die 1-dimensionale Integralrechnung behandelt werden, und mal schauen, was dort zur Substitution steht. Das Buch solltest du in jeder UB finden. @Meromorpher: Ich glaube nicht, dass Eagleeye die Differentiale wirklich faszinieren, das klingt nämlich zu positiv. Vielmehr stört ihn, dass in vielen Skripts und auch Büchern mit Differentialen wie mit Zahlen gerechnet wird, ohne, dass sie überhaupt klar definiert sind. Zuerst wird dy/dx als alternative Schreibweise für y'(x) eingeführt und anschließend findet man Rechnungen wie dydx/dx=dy/dxdx=y'(x)dx, die sich so nicht begründen lassen, da ein einzelnes Differential gar keine klare Bedeutung hat. Zumindest verstehe ich sein Problem so.
28.02.2004, 19:34	Meromorpher	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Schule (hatte Mathe LK) bin ich nie groß, außer im Zusammenhang mit dem Integral (sozusagen als Anweisung über was integriert wird), damit in Berührung gekommen. Und wenn dann habe ich das einfach so hingenommen. Ich wäre nie auf die Idee gekommen mir stinkteure Bücher zu kaufen oder extra in die UB zu gehen und irgendwelche Analysis Bücher durchzusuchen.. Wenn man so viel Engagement da rein steckt muss schon etwas Faszination dabei sein.
29.02.2004, 01:36	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man weiß, dass dy/dx für y'(x) steht, dann muss man sich doch nur noch einmal vorstellen, was die Ableitung y'(x) überhaupt bedeutet, nämlich Grenzwert des Differenzenquotienten. Angenommen man bildet dann im Zähler und Nenner den Grenzwert, so hat man doch schon die Bedeutung des dx: Grenzwert einer Differenz. Wo müsste man noch mathematisch argumentieren um damit zu rechnen?: Grenzwertsätze. Doch die Gewißheit, damit rechnen zu dürfen gibt einem doch schon die Existenz der Ableitung. Hoffe ich habe zum Verständnis beitragen können und nicht noch mehr Verwirrung gestifet. Gruß vom Ben
15.04.2004, 19:28	daldil	Auf diesen Beitrag antworten »
differential Dein Problem mit Differentialen kann ich nachvollziehen. In einschlägiger Literatur wird das Problem nur am Rande besprochen. Als Leibniz diese Symbolik damal einführte geschah dies nur intuitiv. Erst durch moderne Theorien (wird mittlerweile teilweise auch im Hauptstudium der Mathematik angeboten) ist es gelungen eine in sich schlüßige Erklärung zu liefern. Aber was sich Leibniz (wahrscheinlich)darunter vorstellte würde dir denke ich auch schon genügen: Als einfaches Beispiel untersuchen wir $\begin{align} f(x)=x^2 \end{align}$ . Wenn wir die Steigung an beliebinger Stelle x erhalten wollen, gehen wir zunächst wie folgt vor: Wir wählen igendeinen punkt (x,f(x)) aus und einen nah benachbarten Punkt (x-delta(x),f(x-delta(x)), dabei bedeutet delta(x) die Differenz der x-Werte. Der Term $\begin{align} \frac{delta(y)}{delta(x)}= \frac{f(x)-f(x-delta(x))}{delta(x)} \end{align}$ führt also zu einer Näherung der Tangentensteigung, vorrausgestzt delta(x) ist genügend klein. Der für die Funktion $\begin{align} f(x)=x^2 \end{align}$ berechnete obere Term ergibt 2x+delta(x), wenn wir nun delta(x) gegen Null laufen lassen dann geht (stell Dir das anschaulich vor) auch delta(y) gegen Null. Daher setzen wir delta(x):=dx und delta(y):=dy. Warum darf man dies jetzt einfach tun? die Ableitung mit Differentialen lautet dann: $\begin{align} \frac{dy}{dx} = 2x \end{align}$ oder anders: $\begin{align} dy= 2x\cdot dx \end{align}$ das heißt, dass dy tatsächlich 2x-mal größer ist als dx, also je nach wahl von x. Obwohl dy wie dx unendlich klein ist, sind sie dennoch nicht gleich, denn wenn sie es wären, dann hätte man ja immer den Fall, dass das Steigungsdreieck den Wert 1 ergibt. Vorstellen muss man sich das, indem man ein durch delta(x) verursachtes immer kleiner werdendes Steigungsdreick erhält dessen delta(x) und delta(y) selbst (und nartürlich) im grenzfall nicht gleich sind. Bsp. Differenzialgleichung: y`=y oder $\begin{align} \frac{dy}{dx}=f(x) \end{align}$ fasse dx je nach dem wie groß y ist als $\begin{align} \frac{1}{y}\cdot dy \end{align}$ auf, also 1/y fache von dy (da ja die Ableitung also die Steigung (siehe auch Steigungsdreieck) auch den jeweiligen Funktionswert aufweisen muss). Da dx tatsächlich eine infinitesimale Differenz der x-Werte ist, kann durch Integration (unendlichen Summation) x erhalten werden(siehe HDI)...

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